Première STMG

Variations, extrema et optimisation — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

Sur un intervalle, une dérivée positive ou nulle entraîne la croissance de la fonction ; une dérivée négative ou nulle entraîne sa décroissance.
Pour étudier les variations, calculer la dérivée, étudier son signe, puis calculer les valeurs utiles de la fonction.
Un passage du signe + au signe − de la dérivée donne un maximum local ; un passage du signe − au signe + donne un minimum local.
Une dérivée nulle en un point ne suffit pas à prouver un extremum : il faut examiner les variations.
Sur un intervalle fermé, comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes pour trouver les extrema globaux. Une contrainte entière impose ensuite une comparaison des choix admissibles.

Exercice 1 — Maximum d'une fonction quadratique

On considère f(x) = −x² + 6x + 1 sur [0 ; 6].

Calculer f′ et établir le tableau de variations de f.
Déterminer le maximum et le minimum de f sur cet intervalle, avec toutes leurs abscisses.

Corrigé détaillé

f′(x) = −2x + 6. La dérivée est positive pour x < 3, nulle en 3 et négative pour x > 3. On calcule f(0) = 1, f(3) = 10 et f(6) = 1.

x	0	3	6
Variation de f	1 ↗	10	↘ 1

Le maximum est 10, atteint uniquement en x = 3. Le minimum est 1, atteint aux deux bornes x = 0 et x = 6.

Exercice 2 — Minimum d'un coût

Un coût C, en centaines d'euros, est défini par C(x) = x² − 8x + 20 pour x ∈ [0 ; 7].

Étudier les variations de C.
Déterminer le coût minimal et le coût maximal sur ce domaine, en euros.

Corrigé détaillé

C′(x) = 2x − 8. Cette dérivée est négative avant 4 et positive après 4. La fonction décroît sur [0 ; 4], puis croît sur [4 ; 7]. Les valeurs utiles sont C(0) = 20, C(4) = 4 et C(7) = 13.

x	0	4	7
Variation de C	20 ↘	4	↗ 13

Le coût minimal est de 4 centaines d'euros, soit 400 €, pour x = 4. Le maximum est de 20 centaines d'euros, soit 2 000 €, pour x = 0. Il faut comparer les deux bornes pour conclure sur le maximum.

Exercice 3 — Deux points critiques pour un polynôme du troisième degré

On considère f(x) = x³ − 3x² sur [−1 ; 3].

Factoriser f′ et étudier les variations de f.
Déterminer les extrema globaux et toutes les abscisses où ils sont atteints. Distinguer les extrema locaux intérieurs.

Corrigé détaillé

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Elle est positive sur [−1 ; 0[, négative sur ]0 ; 2[ et positive sur ]2 ; 3]. Les valeurs sont f(−1) = −4, f(0) = 0, f(2) = −4 et f(3) = 0.

x	−1	0	2	3
Variation de f	−4 ↗	0 ↘	−4 ↗	0

Le maximum global est 0, atteint en x = 0 et x = 3. Le minimum global est −4, atteint en x = −1 et x = 2. À l'intérieur du domaine, x = 0 est un maximum local et x = 2 est un minimum local.

Exercice 4 — Lire les variations à partir d'une dérivée factorisée

On considère f(x) = x³ − 3x sur [−2 ; 2]. Sa dérivée est f′(x) = 3(x − 1)(x + 1).

Étudier le signe de f′ et construire le tableau de variations de f.
Déterminer le maximum global et le minimum global, en donnant toutes les abscisses correspondantes.

Corrigé détaillé

Le produit est positif à l'extérieur de [−1 ; 1] et négatif entre −1 et 1. Ainsi f croît sur [−2 ; −1], décroît sur [−1 ; 1], puis croît sur [1 ; 2]. On calcule f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2 et f(2) = 2.

x	−2	−1	1	2
Variation de f	−2 ↗	2 ↘	−2 ↗	2

Le maximum global est 2, atteint en x = −1 et x = 2. Le minimum global est −2, atteint en x = −2 et x = 1. Les bornes peuvent donner la même valeur que des extrema intérieurs.

Exercice 5 — Un point stationnaire sans changement de variation

On considère g(x) = x³ + 2 sur [−1 ; 1].

Étudier le signe de g′ et les variations de g. Préciser ce qui se passe en x = 0.
Déterminer les extrema globaux sur [−1 ; 1]. Le point d'abscisse 0 est-il un extremum ?

Corrigé détaillé

g′(x) = 3x² ≥ 0, avec égalité seulement en x = 0. La fonction est strictement croissante sur [−1 ; 1]. Le nombre dérivé est nul en 0, mais son signe ne change pas.
g(−1) = 1 et g(1) = 3. Le minimum global est 1 en x = −1 ; le maximum global est 3 en x = 1. Comme les valeurs de g sont inférieures à g(0) = 2 juste à gauche et supérieures juste à droite, x = 0 n'est ni un minimum ni un maximum local.

Exercice 6 — Une contrainte change l'optimum

On considère f(x) = −x² + 6x + 1, mais les seules valeurs autorisées sont x ∈ [0 ; 2].

Étudier le signe de f′ sur le domaine autorisé et déterminer le maximum de f sur ce domaine.
Expliquer pourquoi la valeur obtenue en x = 3 ne peut pas être retenue, même si f(3) est plus grande.

Corrigé détaillé

f′(x) = −2x + 6. Pour 0 ≤ x ≤ 2, on a f′(x) ≥ 2 > 0 : f est strictement croissante. Son maximum est donc atteint à la borne x = 2 et vaut f(2) = −4 + 12 + 1 = 9.
On a bien f(3) = 10, mais x = 3 n'appartient pas à [0 ; 2]. Un optimum doit être recherché parmi les valeurs admissibles. Le maximum sous la contrainte imposée reste donc 9.

Exercice 7 — Optimiser un bénéfice et étudier sa positivité

Le bénéfice B, en milliers d'euros, d'une activité est modélisé par B(x) = −2x² + 16x − 14 pour x ∈ [0 ; 8]. On donne aussi B(x) = −2(x − 1)(x − 7).

Déterminer le bénéfice maximal à l'aide de la dérivée.
Déterminer les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice est strictement positif. Distinguer cette question de celle du maximum.

Corrigé détaillé

B′(x) = −4x + 16 : elle est positive avant 4 et négative après 4. Le bénéfice croît sur [0 ; 4], puis décroît sur [4 ; 8]. Son maximum vaut B(4) = −32 + 64 − 14 = 18 milliers d'euros, soit 18 000 €.
La forme factorisée montre que B(x) > 0 pour 1 < x < 7. Être bénéficiaire signifie avoir un bénéfice positif, ce qui concerne tout cet intervalle ; maximiser le bénéfice sélectionne uniquement x = 4.

Exercice 8 — Optimisation avec une variable entière

Un coût C est donné en centaines d'euros par C(x) = x² − 5x + 10. La variable x représente un nombre de lots et doit être un entier compris entre 0 et 5.

Étudier d'abord C sur l'intervalle réel [0 ; 5] et déterminer son minimum continu.
En déduire le ou les nombres entiers de lots minimisant le coût. Donner le coût minimal réalisable en euros.

Corrigé détaillé

C′(x) = 2x − 5. La fonction décroît jusqu'à x = 2,5 puis croît. Le minimum continu vaut C(2,5) = 6,25 − 12,5 + 10 = 3,75 centaines d'euros, soit 375 €.
Comme la fonction décroît avant 2,5 et croît après, il suffit de comparer les entiers voisins 2 et 3. C(2) = 4 et C(3) = 4. Le coût minimal réalisable est donc 400 €, atteint pour 2 ou 3 lots. La valeur de 375 € n'est pas réalisable avec un nombre entier de lots.

Exercice 9 — Un paramètre pour obtenir une fonction croissante

Pour a réel,

C_a(x)=x^3-3ax+20

sur

[0;2]

Calculer la dérivée et déterminer tous les a donnant une dérivée non négative sur tout l’intervalle.
Pour a=1, étudier les variations et extrema.
Critiquer « dérivée positive en 2 donc fonction croissante partout » avec a=1.

Corrigé détaillé

$C_a'(x)=3x^2-3a$ . Sur [0;2], son minimum vaut $-3a$ en 0. La condition est donc $a\le0$ .
$C_1'=3(x-1)(x+1)$ : négative avant 1, positive après. La fonction décroît puis croît. $C_1(0)=20$ , $C_1(1)=18$ , $C_1(2)=22$ : minimum18 en1, maximum22 en2.
$C_1'(2)=9>0$ , pourtant la fonction décroît sur [0;1]. Un signe en un seul point ne décrit pas tout l’intervalle.

Exercice 10 — Aire maximale d'un rectangle de périmètre fixé

On veut construire un rectangle de périmètre 20 m. On note x sa largeur, en mètres, avec 0 < x < 10.

Exprimer sa longueur en fonction de x, puis son aire A(x).
À l'aide de la dérivée, déterminer les dimensions donnant l'aire maximale et calculer cette aire.
L'aire possède-t-elle un minimum sur le domaine imposé ? Justifier en tenant compte des bornes exclues.

Corrigé détaillé

Si L est la longueur, 2x + 2L = 20, donc L = 10 − x. L'aire vaut A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, en m².
A′(x) = −2x + 10. Elle est positive pour x < 5 et négative pour x > 5. L'aire est donc maximale pour x = 5, et L = 5. Le rectangle optimal est un carré de côté 5 m ; son aire est 25 m².
Il n'y a pas de minimum : l'aire est strictement positive sur ]0 ; 10[, mais peut être rendue aussi proche de 0 que souhaité en choisissant x proche de 0 ou de 10. La valeur 0 n'est jamais atteinte, car un rectangle de largeur ou de longueur nulle est exclu.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 min Cours particuliers de maths Première STMG