Première STMG

Nombre dérivé et tangentes — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

Le nombre dérivé f′(a) donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Pour les polynômes étudiés : la dérivée d'une constante est 0 ; celles de x, x² et x³ sont respectivement 1, 2x et 3x².
On dérive terme à terme : si f(x) = ax³ + bx² + cx + d, alors f′(x) = 3ax² + 2bx + c.
La tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Il faut connaître à la fois f(a) et f′(a).
Une tangente horizontale correspond à f′(a) = 0, mais cela ne suffit pas à prouver un extremum.

Exercice 1 — Dériver terme à terme un polynôme

On donne f(x) = 3x³ − 2x² + 5x − 7.

Calculer f′(x) en détaillant la dérivée de chaque terme.
Calculer f′(0) et f′(1). Interpréter ces deux nombres en termes de tangentes.

Corrigé détaillé

Les dérivées des quatre termes sont respectivement 9x², −4x, 5 et 0. Ainsi f′(x) = 9x² − 4x + 5.
f′(0) = 5 et f′(1) = 9 − 4 + 5 = 10. Les tangentes aux points d'abscisses 0 et 1 ont donc pour coefficients directeurs respectifs 5 et 10.

Exercice 2 — Équation complète d'une tangente

On considère f(x) = x² + 3x − 2.

Calculer f(2) et f′(2).
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2, puis vérifier qu'elle passe par le point de contact.

Corrigé détaillé

f(2) = 4 + 6 − 2 = 8. Comme f′(x) = 2x + 3, on a f′(2) = 7.
La tangente a pour équation y = 7(x − 2) + 8, soit y = 7x − 6. Pour x = 2, elle donne y = 14 − 6 = 8 : elle passe bien par le point (2 ; 8).

Exercice 3 — Trouver toutes les tangentes horizontales

On considère f(x) = x³ − 3x + 1.

Résoudre f′(x) = 0 sans utiliser de discriminant.
Déterminer les coordonnées des points correspondants et les équations des tangentes horizontales.

Corrigé détaillé

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Le nombre dérivé est nul pour x = −1 ou x = 1.
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1. Les points sont (−1 ;

et (1 ; −1). Leurs tangentes, de pente nulle, ont pour équations y = 3 et y = −1.

Exercice 4 — Une tangente parallèle à une droite

On donne f(x) = x² − 4x + 5 et la droite d d'équation y = 2x + 7.

Déterminer l'abscisse a où la tangente à la courbe de f est parallèle à d.
Donner l'équation de cette tangente. Est-elle confondue avec d ?

Corrigé détaillé

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Or f′(x) = 2x − 4. On résout 2a − 4 = 2, ce qui donne a = 3.
f(3) = 9 − 12 + 5 = 2. La tangente est y = 2(x − 3) + 2 = 2x − 4. Elle est parallèle à d mais distincte, car leurs ordonnées à l'origine, −4 et 7, sont différentes.

Exercice 5 — Approximation affine et erreur exacte

On considère f(x) = x² et sa tangente au point d'abscisse 2.

Déterminer l'équation de cette tangente et l'utiliser pour approcher f(2,1).
Calculer la valeur exacte de f(2,1), puis l'erreur de l'approximation. Préciser si l'approximation est par excès ou par défaut.

Corrigé détaillé

f(2) = 4 et f′(2) = 4. La tangente est y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4. À x = 2,1, elle donne 4,4 : on approche donc f(2,1) par 4,4.
La valeur exacte est 2,1² = 4,41. L'écart est 4,41 − 4,4 = 0,01. L'approximation est par défaut : elle sous-estime la valeur exacte de 0,01.

Exercice 6 — Retrouver un nombre dérivé par un taux local

Pour f(x) = x² et h ≠ 0, on étudie le taux de variation entre 2 et 2 + h.

Simplifier [f(2 + h) − f(2)]/h.
Calculer ce taux pour h = 0,1 puis pour h = −0,1. Quelle valeur approche-t-il lorsque h se rapproche de 0 ? Comparer avec la dérivée usuelle.

Corrigé détaillé

f(2 + h) − f(2) = (2 + h)² − 4 = 4h + h². Pour h ≠ 0, le quotient vaut 4 + h.
Pour h = 0,1, le taux est 4,1 ; pour h = −0,1, il est 3,9. Quand h se rapproche de 0, 4 + h se rapproche de 4. Cela correspond bien à f′(2) = 2 × 2 = 4.

Exercice 7 — Tangente et sécante ne sont pas identiques

Pour f(x) = x², on note A(2 ;

et B(3 ; 9).

Calculer le coefficient directeur de la sécante (AB) et celui de la tangente en A.
Déterminer les deux équations et comparer les ordonnées qu'elles donnent en x = 3.

Corrigé détaillé

La sécante a pour pente (9 − 4)/(3 − 2) = 5. La tangente en A a pour pente f′(2) = 4. Ces pentes ne sont pas égales.
La sécante est y = 5(x − 2) + 4 = 5x − 6. La tangente est y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4. En x = 3, la sécante donne 9, car elle passe par B, tandis que la tangente donne 8. La valeur exacte de f(3) est 9.

Exercice 8 — Retrouver un coût grâce à deux informations

Un coût est

C(x)=ax^2+bx+10

euros sur

[0;5]

. On sait que

C(2)=30

et que la pente de la tangente en 2 vaut 14.

Traduire les deux informations par deux équations puis déterminer a et b.
Donner C, sa dérivée, puis la tangente en 2. Vérifier les données.

Corrigé détaillé

$4a+2b+10=30$ , donc $2a+b=10$ . La dérivée est $2ax+b$ , donc $4a+b=14$ . En soustrayant, $2a=4$ : $a=2$ , puis $b=6$ .
$C(x)=2x^2+6x+10$ ; $C'(x)=4x+6$ . En 2, $C(2)=30$ et $C'(2)=14$ . La tangente est $y=14(x-2)+30=14x+2$ , passant par (2;30).

Exercice 9 — Tangente horizontale sans extremum

On considère f(x) = x³.

Déterminer la tangente à la courbe en x = 0.
Montrer, à l'aide de valeurs situées de part et d'autre de 0, que f(0) n'est ni un minimum local ni un maximum local.

Corrigé détaillé

f(0) = 0 et f′(x) = 3x², donc f′(0) = 0. La tangente est la droite horizontale y = 0.
Pour tout petit nombre ε > 0, f(−ε) = −ε³ < 0 = f(0) et f(ε) = ε³ > 0 = f(0). Il existe donc arbitrairement près de 0 des valeurs plus petites et des valeurs plus grandes que f(0). Ce point n'est pas un extremum, malgré sa tangente horizontale.

Exercice 10 — Déterminer un coefficient à partir d'une pente imposée

Pour un réel k, on considère f(x) = x² + kx + 1. On souhaite que la tangente au point d'abscisse 2 ait pour coefficient directeur 7.

Déterminer k.
Pour cette valeur de k, calculer le point de contact et l'équation de la tangente.

Corrigé détaillé

f′(x) = 2x + k. La condition est f′(2) = 7, soit 4 + k = 7. On obtient k = 3.
La fonction est alors f(x) = x² + 3x + 1. On a f(2) = 4 + 6 + 1 = 11. Le point de contact est (2 ;

et la tangente a pour équation y = 7(x − 2) + 11 = 7x − 3.

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