Première STMG

Évolutions, pourcentages et automatismes — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

  • Une proportion est le quotient de l'effectif de la partie par celui de l'ensemble. Pour l'exprimer en pourcentage, multiplier par 100.
  • Le taux d'évolution de V₀ à V₁ est (V₁ − V₀)/V₀, avec V₀ non nul. Le coefficient multiplicateur vaut V₁/V₀.
  • Une hausse de t % correspond au coefficient 1 + t/100 ; une baisse de t % au coefficient 1 − t/100.
  • Pour des évolutions successives, multiplier les coefficients. Pour l'évolution réciproque, utiliser l'inverse du coefficient global.
  • Distinguer variation en pourcentage, écart en points de pourcentage et variation absolue. Arrondir seulement le résultat final.

Exercice 1 — Hausse et retour à la valeur initiale

Un abonnement coûte initialement 240 € et augmente de 15 %.
  1. Calculer son nouveau prix à l'aide d'un coefficient multiplicateur.
  2. À partir du nouveau prix, retrouver le prix initial. Expliquer pourquoi une baisse de 15 % ne permet pas de le retrouver.
Corrigé détaillé
  1. Le coefficient multiplicateur est 1 + 15/100 = 1,15. Le nouveau prix est 240 × 1,15 = 276 €.
  2. L'opération réciproque est une division : 276/1,15 = 240 €. Retrancher 15 % de 276 € donnerait 276 × 0,85 = 234,60 €, et non 240 €. Les deux pourcentages ne portent pas sur la même base.

Exercice 2 — Deux évolutions de sens contraires

Le prix d'un équipement est de 500 €. Il augmente de 20 %, puis diminue de 15 %.
  1. Calculer le coefficient multiplicateur global et le prix final.
  2. Déterminer le taux d'évolution global et expliquer pourquoi il n'est pas égal à 5 %.
Corrigé détaillé
  1. Les coefficients successifs sont 1,20 et 0,85. Leur produit est 1,20 × 0,85 = 1,02. Le prix final est donc 500 × 1,02 = 510 €.
  2. Le taux global vaut 1,02 − 1 = 0,02, soit une hausse de 2 %. On ne soustrait pas simplement 15 % à 20 % : la baisse s'applique à 600 €, prix obtenu après la hausse, et non aux 500 € initiaux.

Exercice 3 — Compenser une baisse

Après une baisse de 20 %, le chiffre d'affaires mensuel d'une entreprise est de 64 000 €.
  1. Retrouver son chiffre d'affaires avant la baisse.
  2. Déterminer le pourcentage de hausse nécessaire pour retrouver ce chiffre d'affaires initial.
Corrigé détaillé
  1. La baisse correspond au coefficient 0,80. Le chiffre d'affaires initial était donc 64 000/0,80 = 80 000 €.
  2. Le coefficient de retour est 1/0,80 = 1,25. Il faut donc une hausse de 25 %. Vérification : 64 000 × 1,25 = 80 000 €. Une hausse de 20 % ne compenserait pas cette baisse.

Exercice 4 — Proportion dans un sous-ensemble

Une entreprise compte 200 salariés. Parmi eux, 60 % travaillent sur le site A. Sur ce site, 25 % des salariés viennent à vélo.
  1. Calculer le nombre de salariés du site A, puis le nombre de cyclistes de ce site.
  2. Quelle proportion de l'effectif total représentent les cyclistes du site A ?
Corrigé détaillé
  1. Le site A compte 200 × 0,60 = 120 salariés. Parmi eux, 120 × 0,25 = 30 viennent à vélo.
  2. Ces 30 salariés représentent 30/200 = 0,15, soit 15 % de l'effectif total. On retrouve ce résultat par 0,60 × 0,25 = 0,15. Ce calcul ne renseigne pas sur les cyclistes des autres sites.

Exercice 5 — Pourcentage ou points de pourcentage ?

La part des ventes en ligne d'un commerce passe de 20 % à 25 %.
  1. Exprimer l'augmentation en points de pourcentage, puis en pourcentage relativement à la part initiale.
  2. Le nombre total de ventes passe simultanément de 1 000 à 800. Calculer le nombre de ventes en ligne à chaque date et commenter.
Corrigé détaillé
  1. L'écart est de 25 − 20 = 5 points de pourcentage. Relativement à la part initiale, l'augmentation est (25 − 20)/20 = 0,25, soit 25 %.
  2. Au départ, il y a 1 000 × 0,20 = 200 ventes en ligne. À la seconde date, il y en a 800 × 0,25 = 200. La part des ventes en ligne augmente, mais leur nombre reste constant, car le nombre total de ventes diminue.

Exercice 6 — Taux global et pondération

Deux magasins réalisent initialement les chiffres d'affaires suivants.
MagasinChiffre d'affaires initialHausse
A100 000 €10 %
B300 000 €2 %
  1. Calculer le chiffre d'affaires final de chaque magasin et le chiffre d'affaires total final.
  2. Déterminer le taux de hausse du total. Peut-on prendre la moyenne simple de 10 % et 2 % ?
Corrigé détaillé
  1. Pour A : 100 000 × 1,10 = 110 000 €. Pour B : 300 000 × 1,02 = 306 000 €. Le total final est 416 000 €, contre 400 000 € initialement.
  2. Le taux global est (416 000 − 400 000)/400 000 = 0,04, soit 4 %. La moyenne simple donnerait 6 %, ce qui est faux. Les chiffres d'affaires initiaux ne sont pas égaux : le taux global est la moyenne pondérée (100 000 × 10 + 300 000 × 2)/400 000 = 4 %.

Exercice 7 — Retrouver un prix hors taxes

Une facture indique un prix de 84 € TTC pour un produit soumis à une TVA de 20 % du prix HT.
  1. Retrouver le prix HT et le montant de TVA.
  2. Expliquer pourquoi calculer 20 % de 84 € ne donne pas le montant de TVA inclus dans la facture.
Corrigé détaillé
  1. TTC = HT × 1,20, donc HT = 84/1,20 = 70 €. La TVA est 84 − 70 = 14 €.
  2. Les 20 % s'appliquent au prix HT, pas au prix TTC. Calculer 84 × 0,20 donnerait 16,80 €, résultat incorrect. La TVA représente ici 14/84 = 1/6 du TTC, soit environ 16,67 % du TTC, arrondi au centième de pourcentage.

Exercice 8 — Lire et exploiter un indice

Le prix d'un panier est de 225 € en année de base et de 243 € l'année suivante. L'indice du prix est fixé à 100 en année de base.
  1. Calculer l'indice l'année suivante et interpréter sa valeur.
  2. Une troisième année, l'indice atteint 112. Calculer le prix du panier cette année-là.
Corrigé détaillé
  1. L'indice vaut (243/225) × 100 = 108. Le prix a donc augmenté de 8 % par rapport à l'année de base.
  2. Un indice de 112 signifie que le prix vaut 112 % du prix de base. Le prix est donc 225 × 112/100 = 252 €. Il ne faut pas appliquer 12 % à 243 €, car la référence de l'indice reste le prix de base de 225 €.

Exercice 9 — Proportionnalité et budget maximal

Trois licences identiques coûtent au total 90 €. Le prix est strictement proportionnel au nombre de licences, sans frais fixes.
  1. Calculer le prix d'une licence et celui de cinq licences.
  2. Avec un budget de 260 €, combien de licences peut-on acheter au maximum ? Préciser le budget restant.
Corrigé détaillé
  1. Une licence coûte 90/3 = 30 €. Cinq licences coûtent donc 5 × 30 = 150 €.
  2. On a 260/30 ≈ 8,67. Le nombre de licences doit être entier : on peut en acheter au maximum 8. Elles coûtent 240 €, ce qui laisse 20 €. Neuf licences coûteraient 270 €, au-delà du budget.

Exercice 10 — Une remise suivie d'un bon d'achat

Un article de 80 € bénéficie d'une remise de 20 %, puis d'un bon de réduction de 5 € appliqué après la remise.
  1. Calculer le prix payé et le pourcentage de réduction total.
  2. Si le bon de 5 € était appliqué avant la remise de 20 %, quel serait le prix payé ? Comparer.
Corrigé détaillé
  1. Après la remise, le prix est 80 × 0,80 = 64 €. Après le bon, il est 64 − 5 = 59 €. L'économie est de 21 €, soit 21/80 × 100 = 26,25 % du prix initial.
  2. En appliquant d'abord le bon, on obtiendrait (80 − 5) × 0,80 = 60 €. L'ordre initial est plus avantageux de 1 €. Une réduction fixe et une réduction en pourcentage ne se composent pas comme deux simples coefficients multiplicateurs.

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