Suites géométriques et évolutions relatives — 10 exercices corrigés Première STMG
Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.
L'essentiel à retenir
Une suite géométrique vérifie uₙ₊₁ = q × uₙ, avec une raison q constante.
Si l'indexation commence à 0, alors uₙ = u₀ × qⁿ. Si elle commence à 1, alors uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
Une hausse régulière de t % donne q = 1 + t/100 ; une baisse régulière de t % donne q = 1 − t/100.
Pour une suite de termes strictement positifs, q > 1 entraîne la croissance et 0 < q < 1 entraîne la décroissance.
Un seuil entier se recherche par calculs successifs ou par un algorithme ; vérifier les deux rangs qui encadrent le franchissement.
Exercice 1 — Reconnaître une suite géométrique dans un tableau
On donne les premiers termes de deux suites.
n
0
1
2
3
uₙ
200
300
450
675
vₙ
200
300
400
500
Pour chaque ligne, déterminer si les valeurs sont compatibles avec une suite géométrique.
On prolonge la première ligne avec un quotient constant. Donner sa raison, son taux d'évolution et l'expression de uₙ.
Corrigé détaillé
Pour u, les trois quotients sont 300/200 = 450/300 = 675/450 = 1,5 : la ligne est compatible avec une suite géométrique. Pour v, 300/200 = 1,5 mais 400/300 = 4/3 : les quotients ne sont pas constants, donc v n'est pas géométrique.
La raison est q = 1,5, ce qui correspond à une hausse de 50 % à chaque étape. Avec u₀ = 200, on obtient uₙ = 200 × 1,5ⁿ.
Exercice 2 — Capital et intérêts composés
Un capital de 1 000 € est placé à un taux annuel de 5 %. Les intérêts sont ajoutés au capital chaque année, sans versement ni retrait. On note uₙ le capital après n années.
Donner u₀, une relation de récurrence et l'expression de uₙ.
Calculer le capital après trois années, arrondi au centime, puis les intérêts totaux acquis.
Corrigé détaillé
On a u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 1,05uₙ. La suite est géométrique de raison 1,05, donc uₙ = 1 000 × 1,05ⁿ.
u₃ = 1 157,625 €, soit 1 157,63 € au centime. Les intérêts totaux sont exactement 157,625 €, soit 157,63 € au centime. Les calculs sont effectués sans arrondir les capitaux intermédiaires.
Exercice 3 — Dépréciation et évolution globale
La valeur comptable d'un matériel est de 800 € à l'achat. Elle diminue de 25 % chaque année. On note vₙ sa valeur après n années.
Exprimer vₙ et justifier le sens de variation de la suite.
Calculer v₃ et le pourcentage de baisse global en trois ans, arrondi au centième de pourcentage.
Corrigé détaillé
Le coefficient annuel est 0,75, donc vₙ = 800 × 0,75ⁿ. Les termes sont positifs et la raison est comprise entre 0 et 1 : la suite est strictement décroissante.
v₃ = 800 × 0,75³ = 337,50 €. Le coefficient global est 0,421875. Le taux global est 0,421875 − 1 = −0,578125 : la baisse est de 57,81 % après arrondi. Elle n'est pas de 75 %, car les baisses annuelles portent sur des valeurs différentes.
Exercice 4 — Indexation à partir du premier mois
Une campagne reçoit 3 demandes pendant le premier mois, puis deux fois plus chaque mois. On note wₙ le nombre de demandes du mois n, avec n ≥ 1.
Donner w₁, la raison et l'expression de wₙ.
Calculer le nombre de demandes du sixième mois. Expliquer pourquoi l'exposant n'est pas 6.
Corrigé détaillé
On a w₁ = 3 et q = 2. L'expression est wₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹.
w₆ = 3 × 2⁵ = 96 demandes. Entre le premier et le sixième mois, il y a cinq passages d'un mois au suivant, donc cinq multiplications par 2. Utiliser 2⁶ compterait une multiplication de trop.
Exercice 5 — Retrouver la raison à partir de termes éloignés
Une suite géométrique de termes strictement positifs vérifie u₀ = 200 et u₂ = 450.
Déterminer sa raison q.
Calculer u₁ et u₃, puis interpréter le taux d'évolution à chaque étape.
Corrigé détaillé
On a u₂ = u₀q², donc q² = 450/200 = 2,25. Les termes étant strictement positifs, q = u₁/u₀ est positif. Ainsi q = 1,5, et non −1,5.
u₁ = 200 × 1,5 = 300 et u₃ = 450 × 1,5 = 675. Le taux d'évolution à chaque étape vaut 1,5 − 1 = 0,5, soit une hausse de 50 %.
Exercice 6 — Retrouver la valeur de départ
Une quantité diminue de 10 % à chaque étape. Après deux étapes, elle vaut 486 kg. On la modélise par une suite géométrique uₙ, où u₀ est la masse initiale.
Retrouver u₀ et donner l'expression de uₙ.
Calculer la masse après trois étapes et vérifier la cohérence avec une baisse de 10 % à partir de 486 kg.
Corrigé détaillé
La raison est 0,9. Comme 486 = u₀ × 0,9², on obtient u₀ = 486/0,81 = 600 kg. Ainsi uₙ = 600 × 0,9ⁿ.
u₃ = 600 × 0,9³ = 437,4 kg. On retrouve directement 486 × 0,9 = 437,4 kg : la perte entre les deuxième et troisième étapes est bien de 48,6 kg, soit 10 % de 486 kg.
Exercice 7 — Premier dépassement d'un objectif
Un indicateur vaut uₙ = 100 × 1,2ⁿ après n périodes, où n est un entier naturel.
Justifier que la suite est strictement croissante.
Déterminer le premier rang n pour lequel uₙ ≥ 200. Fournir les deux valeurs qui encadrent le franchissement.
Corrigé détaillé
Les termes sont strictement positifs et la raison vaut 1,2 > 1. On peut aussi écrire uₙ₊₁ − uₙ = 0,2uₙ > 0. La suite est donc strictement croissante.
Les valeurs successives sont 100 ; 120 ; 144 ; 172,8 ; 207,36. En particulier, u₃ = 172,8 < 200 et u₄ = 207,36 ≥ 200. Grâce à la croissance, le premier rang recherché est n = 4.
Exercice 8 — Un algorithme pour passer sous un seuil
Une réserve contient initialement 500 L. À chaque cycle, il reste 80 % du volume précédent. On étudie l'algorithme suivant, avec des valeurs non arrondies.n ← 0
u ← 500
Tant que u ≥ 200 :
u ← 0,8 × u
n ← n + 1
Exprimer uₙ et expliquer ce que représente n à la fin de l'algorithme.
Déterminer les valeurs finales de n et de u. Justifier l'arrêt.
Corrigé détaillé
La suite est géométrique de raison 0,8, donc uₙ = 500 × 0,8ⁿ. L'algorithme compte les cycles jusqu'au premier volume strictement inférieur à 200 L : la condition de poursuite est u ≥ 200.
Les volumes sont 500 ; 400 ; 320 ; 256 ; 204,8 ; 163,84 L. Comme u₄ = 204,8 ≥ 200 et u₅ = 163,84 < 200, les valeurs finales sont n = 5 et u = 163,84 L. La décroissance garantit qu'aucun cycle antérieur ne convenait.
Exercice 9 — Distinguer terme et cumul
Un atelier fabrique 100 pièces le jour 0, puis double sa production journalière à chaque nouveau jour. On note uₙ la production du jour n.
Donner uₙ et calculer la production du jour 3.
Calculer directement la production totale des jours 0 à 3 inclus. Expliquer pourquoi elle est différente de u₃.
Corrigé détaillé
La production journalière suit une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 2 : uₙ = 100 × 2ⁿ. Le jour 3, u₃ = 800 pièces.
Les quatre productions sont 100, 200, 400 et 800 pièces. Leur somme est 1 500 pièces. Le terme u₃ représente uniquement la production du jour 3 ; le cumul additionne les productions de quatre jours. Aucune formule générale de somme n'est nécessaire ici.
Exercice 10 — Un apport fixe empêche le modèle géométrique
Un compte contient 100 €. Chaque année, le solde augmente de 10 %, puis on ajoute 10 €. On note uₙ le solde après n années.
Donner la relation de récurrence et calculer u₁ et u₂.
La suite est-elle géométrique ? Comparer les deux premiers quotients et expliquer le rôle de l'apport fixe.
Corrigé détaillé
Le modèle est uₙ₊₁ = 1,1uₙ + 10, avec u₀ = 100. On obtient u₁ = 1,1 × 100 + 10 = 120 €, puis u₂ = 1,1 × 120 + 10 = 142 €.
u₁/u₀ = 1,2, tandis que u₂/u₁ = 142/120 = 71/60 ≈ 1,1833. Ces quotients diffèrent : la suite n'est pas géométrique. L'ajout fixe de 10 € ne représente pas une proportion constante du solde.