Niveau Première non-spécialité

Exercices de maths Première non-spécialité

Des exercices de maths pensés pour les élèves de Première générale qui n'ont pas choisi la spécialité mathématiques : QCM d'automatismes, lectures graphiques, pourcentages, statistiques et probabilités du tronc commun.

Au programme de cette page

Cette page rassemble 21 exercices de maths (Niveau Première non-spécialité) répartis en 3 thèmes, dont 21 accompagnés d'un corrigé détaillé.

QCM d'automatismes et corrigés expliqués (13 ex.)
Probabilités : tableaux croisés et arbres pondérés (5 ex.)
Suites arithmétiques et géométriques : problèmes de modélisation (3 ex.)

Consolider les automatismes du tronc commun de Première
Maîtriser la lecture graphique : équations de droites, images et antécédents
Traiter les pourcentages, taux d'évolution et statistiques sans calculatrice
Savoir utiliser un tableau croisé et un arbre pondéré en probabilités

Corriger vos exercices en visio

QCM d'automatismes et corrigés expliqués

Exercice 1

9 points

Calcul numérique, pourcentages et formules

Pour cette partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

On veut comparer deux nombres réels notés $A$ et $B$ . On sait que la différence $A - B$ est strictement positive. Alors :

a)
$A < B$
b)
$A > B$
c)
$A = B$
d)
on ne peut pas savoir

On considère le nombre $C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}$ . On a :

a)
$C = 2$
b)
$C = \dfrac{35}{12}$
c)
$C = \dfrac{35}{2}$
d)
$C = 3$

On considère le nombre $D = 3 \times 2^{5} \times 2^{3}$ . On a :

a)
$D = 3 \times 2^{8}$
b)
$D = 6^{8}$
c)
$D = 3 \times 2^{15}$
d)
$D = 7^{8}$

On considère le nombre $E = 999 \times 1001$ . Un ordre de grandeur de $E$ est :

a)
$1\,000$
b)
$10\,000$
c)
$100\,000$
d)
$1\,000\,000$

Quand on développe $(x + 2)^{2}$ , on obtient :

a)
$x^{2} + 4x + 4$
b)
$2x + 4$
c)
$x^{2} + 4$
d)
$x^{2} - 4$

L'équation $3x - 5 = x + 3$ a pour solution :

a)
$x = -4$
b)
$x = 8$
c)
$x = 6$
d)
$x = 4$

Dans une boîte de $60$ chocolats, $40\ \%$ sont des chocolats au lait. Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boîte ?

a)
$20$
b)
$24$
c)
$25$
d)
$40$

Le taux d'évolution équivalent à une baisse de $10\ \%$ suivie d'une baisse de $20\ \%$ est :

a)
$-38\ \%$
b)
$-30\ \%$
c)
$-28\ \%$
d)
$-18\ \%$

En physique, l'énergie cinétique d'un véhicule est donnée par la formule $E = \dfrac{1}{2}mv^{2}$ , où $m$ représente la masse du véhicule et $v$ sa vitesse. On souhaite exprimer $v$ en fonction de $E$ et $m$ . Une expression de $v$ est :

a)
$v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$
b)
$v = \dfrac{2E}{m}$
c)
$v = \sqrt{E - \dfrac{1}{2}m}$
d)
$v = \sqrt{2mE}$

Corrigé détaillé

b, A−B>0 donc A>B.
d,1/2+15/6=3.
a,3 × 2⁸=768.
d,999 × 1001=1000000−1=999999, ordre de grandeur 10⁶.
a, x²+4 x+4.
d,2 x=8, x=4.
b,60 × 0,4=24.
c,0,9 × 0,8=0,72, baisse 28 %.
a, v=√(2 E/m), m>0, v≥0 ; m/s si E est en joules et m en kilogrammes.

Exercice 2

Équation réduite d'une droite (lecture graphique)

Droite décroissante tracée dans un repère, coupant l'axe des ordonnées en 3

Une droite est représentée ci-dessus.

L'équation réduite de cette droite est :

a)
$y = -2x + 3$
b)
$y = 3x + 1{,}5$
c)
$y = -0{,}5x + 3$
d)
$y = -2x + 1{,}5$

Justifier votre choix en lisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur sur le graphique.

Corrigé détaillé

Réponse a : y=−2x+3.
La droite passe par (0 ; 3) et (1 ; 1) sur le graphique fourni. La pente vaut (1−3)/(1−0)=−2 ; l’ordonnée à l’origine est3. L’abscisse d’intersection avec l’axe horizontal est1,5, car −2×1,5+3=0.

Exercice 3

Résolution graphique d'une équation

Une fonction

h

définie sur

[-3\,;\,4]

est représentée ci-dessus.

L'équation $h(x) = 2$ a pour ensemble solution :

a)
$\mathcal{S} = \{2\}$
b)
$\mathcal{S} = \{-2\,;\,2\,;\,3\}$
c)
$\mathcal{S} = [-2\,;\,3]$
d)
$\mathcal{S} = \{-0{,}5\,;\,0{,}5\}$

Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ sur $[-3\,;\,4]$ .

Corrigé détaillé

b, abscisses−2,2,3 où h=2.
Trois intersections visibles avec y=0, environ−1,1,3,5. Lecture approchée : le bas du tracé sort du cadre, aucune formule ne certifie un comportement dans une portion non représentée.

Exercice 4

Moyenne et médiane d'une série de notes

Un élève a obtenu une série de trois notes

9\,;\,11\,;\,13

en mathématiques. Il a déterminé la moyenne et la médiane de cette série.

Il obtient deux nouvelles notes :

10

17

et obtient ainsi une nouvelle série de notes :

9\,;\,10\,;\,11\,;\,13\,;\,17

Laquelle des quatre propositions est vraie ?

a) Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.

b) Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.

c) Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.

d) Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.

Justifier en calculant la moyenne et la médiane de chacune des deux séries.

Corrigé détaillé

c, moyennes différentes, médianes égales.
Première moyenne 33/3=11, médiane 11 ; seconde 60/5=12, médiane troisième valeur 11.

Exercice 5

8 points

Calcul littéral, pourcentages et équations produit

On considère $A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3}$ . On a :

a)
$A = \dfrac{2}{3}$
b)
$A = \dfrac{10}{3}$
c)
$A = \dfrac{4}{3}$
d)
$A = \dfrac{11}{3}$

On considère $B = 2 \times 5^{2} + 3$ . On a :

a)
$B = 103$
b)
$B = 53$
c)
$B = 97$
d)
$B = 23$

$25\ \%$ de $250$ est égal à :

a)
$62{,}5$
b)
$125$
c)
$50$
d)
$225$

Un article coûtant $300\ €$ subit une baisse de $15\ \%$ . Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul :

a)
$300 - 0{,}15$
b)
$300 \times 0{,}85$
c)
$300 \times 1{,}15$
d)
$300 \times 0{,}15$

La valeur de l'expression $2x^{2} - 3x - 4$ pour $x = -1$ est :

a)
$-9$
b)
$-3$
c)
$-5$
d)
$1$

L'expression $(x - 4)^{2}$ est égale à :

a)
$x^{2} - 8x + 16$
b)
$x^{2} + 8x + 16$
c)
$x^{2} - 8x - 16$
d)
$x^{2} + 8x - 16$

L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'équation $(2x + 4)(-3x - 9) = 0$ est :

a)
$\mathcal{S} = \{-5\}$
b)
$\mathcal{S} = \{-4\,;\,9\}$
c)
$\mathcal{S} = \{-2\,;\,3\}$
d)
$\mathcal{S} = \{-3\,;\,-2\}$

Soit la formule $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{R^{2}}$ . On a :

a)
$m_1 = \dfrac{F \times G}{R^{2} \times m_2}$
b)
$m_1 = \dfrac{F \times R^{2}}{G \times m_2}$
c)
$m_1 = \sqrt{\dfrac{G \times R^{2}}{F \times m_2}}$
d)
$m_1 = F \times R^{2} \times G \times m_2$

Corrigé détaillé

b,4−2/3=10/3.
b,2 × 25+3=53.
a,250 × 0,25=62,5.
b,300 × 0,85=255 €.
d,2+3−4=1.
a, x²−8 x+16.
d, racines −2 et −3.
b, m₁=FR²/(Gm₂), dénominateur non nul.

Exercice 6

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Droite (AB) tracée dans un repère, passant par A(0 ; 2) et B(4 ; 0)

Dans un repère du plan, on a représenté la droite

(AB)

ci-dessus.

L'équation réduite de la droite $(AB)$ est :

a)
$y = 4x + 2$
b)
$y = -2x + 2$
c)
$y = 2x + 4$
d)
$y = -0{,}5x + 2$

Lire les coordonnées des points $A$ et $B$ , puis retrouver le coefficient directeur par le calcul $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

Corrigé détaillé

Réponse d : y=−0,5x+2.
On lit A(0 ; 2) et B(4 ; 0). La pente vaut (0−2)/(4−0)=−1/2=−0,5. L’ordonnée à l’origine vaut2 car A est sur l’axe vertical. Ces deux lectures déterminent l’équation.

Exercice 7

Inéquation et variations par lecture graphique

Courbe d'une fonction f définie sur l'intervalle [-6 ; 5]

Voici la courbe représentative d'une fonction

f

définie sur

[-6\,;\,5]

(ci-dessus).

L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 3$ est :

a)
$\mathcal{S} = [-6\,;\,-5] \cup [-2\,;\,5]$
b)
$\mathcal{S} = [-5\,;\,-2]$
c)
$\mathcal{S} = \{-5\,;\,-2\}$
d)
$\mathcal{S} = \{-3\}$

Donner par lecture graphique le maximum et le minimum de $f$ sur $[-6\,;\,5]$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-6\,;\,5]$ .

Corrigé détaillé

b, solution[−5;−2], courbe≥3, bornes incluses.
Maximum≈4 vers−3,7, minimum≈−3 vers 3.

x	−6	≈−3,7	≈3	5
f	≈0,6 ↗	≈4	↘≈−3	↗≈−0,5

Ces valeurs sont des lectures approximatives du petit graphique, non des coordonnées exactes déduites d’une formule.

Exercice 8

7 points

Proportions, évolutions, droites et médiane

Le nombre $\dfrac{2}{5}$ est égal à :

A.
$0{,}2$
B.
$0{,}25$
C.
$0{,}4$
D.
$0{,}5$

$30\ \%$ de $150$ est égal à :

A.
$15$
B.
$30$
C.
$45$
D.
$60$

La solution de l'équation $7x + 4 = 5x + 6$ est :

A.
$x = -1$
B.
$x = 0$
C.
$x = 2$
D.
$x = 1$

Un article coûte initialement $50\ €$ . Son prix diminue de $10\ \%$ puis augmente de $10\ \%$ . Son prix final est de :

A.
$49{,}50\ €$
B.
$49{,}90\ €$
C.
$50\ €$
D.
$50{,}10\ €$

On considère la courbe d'équation $y = 2x^{2} - x + 3$ . Le point d'abscisse $-1$ de la courbe est :

A.
$A(-1\,;\,0)$
B.
$B(-1\,;\,2)$
C.
$C(-1\,;\,4)$
D.
$D(-1\,;\,6)$

Une droite passe par les points $A(-1\,;\,2)$ et $B(-3\,;\,4)$ . Son coefficient directeur est :

A.
$-2$
B.
$-1$
C.
$1$
D.
$2$

On s'intéresse au confort d'un hôtel. Les six dernières notes obtenues sont : $2\,;\,3\,;\,5\,;\,4\,;\,2\,;\,3$ . La médiane de cette série de notes est :

A.
$2$
B.
$3$
C.
$3{,}5$
D.
$4$

Corrigé détaillé

C,2/5=0,4.
C,45.
D,2 x=2, x=1.
A,50 × 0,9 × 1,1=49,50 €.
D,2+1+3=6.
B, pente 2/(−2)=−1.
B, série 2,2,3,3,4,5, médiane 3.

Exercice 9

Images et antécédents (lecture graphique)

Courbe représentative d'une fonction f tracée sur l'intervalle [-4 ; 5]

On donne ci-dessus la représentation graphique d'une fonction

f

Lequel de ces nombres est un antécédent de $3$ ?

A.
$0{,}5$
B.
$1$
C.
$1{,}5$
D.
$2$

Donner l'image de $-3$ par la fonction $f$ .

Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ .

Corrigé détaillé

B, f(1)=3 au sommet visible.
f(−3)≈1,5.
Racines lues≈−3,9,−2,2,−0,5. Graphique gradué par demi-unités, sans formule : ne pas présenter ces lectures comme exactes.

Exercice 10

7 points

Fractions, vitesses, développements et comparaisons

$\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10} =$

a)
$-\dfrac{3}{25}$
b)
$-\dfrac{1}{5}$
c)
$\dfrac{1}{10}$
d)
$\dfrac{1}{5}$

Laquelle de ces fonctions est représentée graphiquement par une droite ?

a)
$f(x) = \dfrac{5}{2}x - 5$
b)
$g(x) = x^{3}$
c)
$h(x) = -\dfrac{1}{x} + 3$
d)
$i(x) = 2x^{2} + 3x + 1$

Un automobiliste roule à $60$ km/h de moyenne pendant $2$ h $30$ min. La distance parcourue est :

a)
$150$ km
b)
$140$ km
c)
$130$ km
d)
$120$ km

Un article à $200\ €$ coûtera après une augmentation de $20\ \%$ :

a)
$200 + 0{,}2$
b)
$200 \times \dfrac{20}{100}$
c)
$200 \times 1{,}2$
d)
$100 \times 0{,}20 + 200$

On développe $(2x - 5)^{2}$ . L'expression développée et réduite est :

a)
$2x^{2} - 10 + 25$
b)
$4x^{2} - 20x - 25$
c)
$4x^{2} - 20x + 25$
d)
$4x^{2} - 25$

La résistance $R$ (en ohms) d'un appareil est donnée par la formule $R = \dfrac{U^{2}}{P}$ , où $U$ est la tension (en volts) et $P$ la puissance (en watts). Quelle est la résistance d'un appareil lorsque la tension est de $20$ volts et la puissance de $80$ watts ?

a)
$\dfrac{1}{2}$
b)
$2$
c)
$\dfrac{1}{5}$
d)
$5$

On considère les nombres suivants : $A = \dfrac{1}{8}$ , $B = \dfrac{1}{9}$ , $C = \dfrac{1}{12}$ et $D = 0{,}1$ . Le plus petit de ces nombres est :

a)
$A$
b)
$B$
c)
$C$
d)
$D$

Corrigé détaillé

c,4/10−3/10=1/10.
a, fonction affine.
a,60 × 2,5=150 km.
c,200 × 1,2=240 €.
c,4 x²−20 x+25.
d,400/80=5 Ω.
c,1/12≈0,0833<0,1<1/9<1/8.

Exercice 11

Identifier une droite à partir de son équation réduite

Repère avec quatre droites tracées et repérées (d1), (d2), (d3) et (d4)

Dans le repère ci-dessus sont tracées les droites

(d_1)

(d_2)

(d_3)

(d_4)

La droite ayant pour équation réduite $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$ est :

a)
$(d_1)$
b)
$(d_2)$
c)
$(d_3)$
d)
$(d_4)$

Donner l'équation réduite de la droite $(d_3)$ .

Déterminer par lecture graphique les coordonnées du point d'intersection de $(d_1)$ et $(d_4)$ .

Corrigé détaillé

d, d₄passe(0;1),(2;0), pente−1/2.
d₃est la droite horizontale rose à mi-chemin entre 0 et −1 : y=−1/2, non 0.
d₁: y=x/2+1 ; d₄: y=−x/2+1, égalitéx=0, y=1, intersection(0;1).

Exercice 12

11 points

Puissances, évolutions, conversions et paraboles

Un article de $5$ g perd $10\ \%$ de sa masse. Sa nouvelle masse est :

A.
$4{,}0$ g
B.
$4{,}1$ g
C.
$4{,}5$ g
D.
$4{,}9$ g

Pour augmenter un prix de $15\ \%$ , je dois le multiplier par :

A.
$0{,}15$
B.
$1{,}15$
C.
$0{,}85$
D.
$1{,}015$

On considère $A = \dfrac{2}{5}$ . Alors :

A.
$A = 2{,}5\ \%$
B.
$A = 4\ \%$
C.
$A = 40\ \%$
D.
$A = 25\ \%$

On considère $B = \left(5^{3}\right)^{4} \times 5^{10}$ . Alors :

A.
$B = 5^{17}$
B.
$B = 5^{120}$
C.
$B = 5^{22}$
D.
$B = 5^{70}$

Le triple de $3^{12}$ est :

A.
$9^{12}$
B.
$3^{36}$
C.
$3^{13}$
D.
$9^{36}$

Une expression développée de $(2x + 5)^{2}$ est :

A.
$4x^{2} + 25$
B.
$4x^{2} + 10x + 25$
C.
$2x^{2} + 20x + 25$
D.
$4x^{2} + 20x + 25$

L'ensemble des solutions de l'équation $x^{2} = 5$ est :

A.
$\{-2{,}5\,;\,2{,}5\}$
B.
$\{\sqrt{5}\}$
C.
$\{2{,}5\}$
D.
$\{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}$

En convertissant $3\,400$ mm $^{3}$ en cm $^{3}$ , on obtient :

A.
$3{,}4$ cm $^{3}$
B.
$34$ cm $^{3}$
C.
$340$ cm $^{3}$
D.
$0{,}34$ cm $^{3}$

En sachant que le point $A$ de coordonnées $(-3\,;\,y_A)$ appartient à la courbe d'équation $y = x^{2}$ , on a :

A.
$y_A = -9$
B.
$y_A = -6$
C.
$y_A = 6$
D.
$y_A = 9$

Lequel de ces nombres est supérieur à $0{,}1$ ?

A.
$\dfrac{1}{12}$
B.
$10^{-2}$
C.
$\dfrac{1}{5}$
D.
$7\ \%$

On considère $A = 3 \times \dfrac{2}{5} + 1$ . On a :

A.
$A = \dfrac{11}{5}$
B.
$A = \dfrac{7}{15}$
C.
$A = \dfrac{11}{10}$
D.
$A = \dfrac{11}{15}$

Corrigé détaillé

C,4,5 g.
B,1,15.
C,40 %.
C,5²².
C,3¹³.
D,4 x²+20 x+25.
D,±√5.
A,3400/1000=3,4 cm³.
D,9.
C,1/5=0,2>0,1.
A,6/5+1=11/5.

Exercice 13

Loi de probabilité et somme des probabilités

On lance un dé truqué à

4

faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée par le tableau ci-dessous.

Face	Face numéro 1	Face numéro 2	Face numéro 3	Face numéro 4
Probabilité	0,1	0,25	0,3	$x$

On a alors :

A.
$x = 0{,}35$
B.
$x = 0{,}45$
C.
$x = 0{,}65$
D.
$x = 0{,}60$

Calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair.

Corrigé détaillé

Réponse A : les probabilités doivent avoir une somme égale à1. Donc x=1−(0,1+0,25+0,3)=0,35.
Les résultats pairs sont les faces2 et4 ; les événements sont incompatibles. On additionne donc leurs probabilités :0,25+0,35=0,60=3/5, soit60 %. La somme de toutes les faces vaut bien1.

Probabilités : tableaux croisés et arbres pondérés

Exercice 1

6 points

Tableau croisé, probabilités conditionnelles et indépendance

Les

200

élèves de première année à Poudlard sont répartis entre deux maisons : Gryffondor et Serdaigle. Chaque élève pratique une seule activité extra-scolaire parmi le Quidditch et le Club de Botanique. La répartition est donnée dans le tableau suivant :

	Quidditch ( $Q$ )	Botanique ( $B$ )	Total
Gryffondor ( $G$ )	70	30	100
Serdaigle ( $S$ )	40	60	100
Total	110	90	200

On choisit un élève au hasard parmi les

200

élèves. On considère les événements suivants :

$G$ : « l'élève appartient à Gryffondor » ;

$S$ : « l'élève appartient à Serdaigle » ;

$Q$ : « l'élève pratique le Quidditch » ;

$B$ : « l'élève pratique la Botanique ».

Déterminer la probabilité $P(G)$ de l'événement $G$ .

Déterminer la probabilité que l'élève soit un Serdaigle qui pratique le Quidditch.

Déterminer la probabilité de l'événement $G \cap B$ .

Les événements $G$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

On choisit au hasard un élève de Gryffondor. Quelle est la probabilité qu'il pratique le Quidditch ?

Déterminer la probabilité $P_Q(S)$ .

Corrigé détaillé

P(G)=1/2.
P(S∩Q)=40/200=0,2.
P(G∩B)=0,15.
P(G)P(B)=0,225≠0,15, non indépendants.
70/100=70 %.
40/110=4/11≈36,36 %, référence 110 quidditch.

Exercice 2

6 points

Tableau croisé et probabilités conditionnelles

Lors du grand rassemblement de l'Alliance Shinobi,

200

ninjas sont réunis. Ils proviennent de deux villages cachés : Konoha et Suna. Chaque ninja maîtrise un type de jutsu principal : soit le Ninjutsu, soit le Taijutsu.

La répartition des ninjas est donnée dans le tableau suivant :

	Ninjutsu ( $N$ )	Taijutsu ( $T$ )	Total
Konoha ( $K$ )	60	40	100
Suna ( $S$ )	30	70	100
Total	90	110	200

On choisit un ninja au hasard parmi les

200

présents. On considère les événements suivants :

$K$ : « le ninja provient de Konoha » ;

$S$ : « le ninja provient de Suna » ;

$N$ : « le ninja maîtrise le Ninjutsu » ;

$T$ : « le ninja maîtrise le Taijutsu ».

Déterminer la probabilité $P(K)$ de l'événement $K$ .

Déterminer la probabilité que le ninja provienne de Suna et maîtrise le Ninjutsu.

Déterminer la probabilité de l'événement $K \cap T$ .

Les événements $K$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

On choisit au hasard un ninja de Konoha. Quelle est la probabilité qu'il maîtrise le Ninjutsu ?

Déterminer la probabilité $P_T(S)$ .

Corrigé détaillé

P(K)=1/2.
P(S∩N)=0,15.
P(K∩T)=0,2.
0,5 × 0,55=0,275≠0,2, non indépendants.
60/100=60 %.
70/110=7/11≈63,64 %, référence 110 taijutsu.

Exercice 3

Arbre pondéré : probabilités conditionnelles

Arbre pondéré à deux niveaux avec les événements A et B et les probabilités 0,8 ; 0,3 et 0,6

A

B

sont deux événements et on considère l'arbre pondéré ci-dessus.

On a :

a)
$P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}3$
b)
$P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}48$
c)
$P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}8$
d)
$P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}6$

On a :

a)
$P_A(\overline{B}) = 0{,}3$
b)
$P_A(\overline{B}) = 0{,}2$
c)
$P_A(\overline{B}) = 0{,}14$
d)
$P_A(\overline{B}) = 0{,}7$

Compléter toutes les branches manquantes de l'arbre, puis calculer $P(B)$ .

Corrigé détaillé

d, P(non B sachant non A)=0,6.
d, P(non B sachant A)=1−0,3=0,7.
P(A)=0,2, non A 0,8 ; depuis A, B 0,3/nonB 0,7 ; depuis non A, B 0,4/nonB 0,6. Chemins 0,06,0,14,0,32,0,48, somme 1 ; P(B)=0,06+0,32=0,38.

Exercice 4

Arbre pondéré, probabilités totales et indépendance

Dans un lycée, on peut s'inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives. On constate que :

$40\ \%$ des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ;

parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, $20\ \%$ ont aussi choisi des activités sportives ;

parmi les élèves n'ayant pas choisi des activités artistiques, $40\ \%$ ont choisi de faire des activités sportives.

Parmi l'ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard. On note les événements suivants :

$A$ : « l'élève choisi est inscrit à une activité artistique » ;

$S$ : « l'élève choisi est inscrit à une activité sportive ».

Pour un événement quelconque

E

, on note

\overline{E}

l'événement contraire de

E

P(E)

la probabilité de

E

P_F(E)

la probabilité de

E

sachant l'événement

F

Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}(S)$ .

Recopier et compléter sur votre copie l'arbre de probabilité ci-dessus.

Calculer $P(A \cap S)$ et $P(\overline{A} \cap S)$ .

On admet que $P(S) = 0{,}32$ . Calculer $P_S(A)$ et interpréter la réponse.

Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ?

Arbre de probabilité à compléter avec les événements A et S et la probabilité 0,4

Corrigé détaillé

P(S sachant A)=0,2, P(S sachant non A)=0,4.
Branches A 0,4/non A 0,6 ; depuis A, S 0,2/non S 0,8 ; depuis non A, S 0,4/non S 0,6.
Intersections 0,08 et 0,24.
P(S)=0,32, P(A sachant S)=0,08/0,32=0,25 ;25 % des sportifs sont artistes.
Non indépendants :0,2≠0,32. Limite du sujet :36 % dans non A∩non S, situation incohérente si tout inscrit doit appartenir à au moins une des deux activités. Les calculs suivent les probabilités fournies, sans modifier le sujet.

Exercice 5

Répétition d'expériences identiques et indépendantes

On dispose d'une pièce de monnaie truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile lors d'un lancer est égale à

\dfrac{1}{4}

Déterminer la probabilité d'obtenir face.

On lance trois fois de suite cette pièce de monnaie, les trois lancers étant indépendants, et on note pour chaque lancer le résultat (pile ou face) obtenu.

a) Représenter la situation par un arbre de probabilités.

b) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers ?

c) Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile ?

Arbre des trois lancers indépendants : pile 1/4, face 3/4, huit issues.

Corrigé détaillé

Face 3/4.
a)Arbre trois niveaux, branchesPile 1/4 etFace 3/4 partout, voir figure.

Issue	PPP	PPF	PFP	PFF	FPP	FPF	FFP	FFF
Probabilité	1/64	3/64	3/64	9/64	3/64	9/64	9/64	27/64

b)ExactementunePile : PFF, FPF, FFP, total 27/64=0,421875. c)JamaisPile : FFF=27/64. Égalité fortuite de ces deux probabilités.

Suites arithmétiques et géométriques : problèmes de modélisation

Exercice 1

Population de marmottes — suites arithmétiques et géométriques

En juin 2019, une population de 200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps.

Il constate qu'entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de 20 individus.

Partie A : Premier modèle

Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de 20 individus tous les ans.

On note alors

u_n

la population de marmottes que l'on peut estimer à l'aide de ce modèle en juin

2019 + n

. On a donc

u_0 = 200

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.

À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de 355 individus.

Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?

Partie B : Second modèle

On rappelle que la population de marmottes était de 200 individus en juin 2019 et de 220 individus en juin 2020.

De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?

Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin

2019 + n

par

v_n

tel que, pour tout entier naturel

n

v_{n+1} = 1{,}1 \times v_n

a) Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.

b) Exprimer

v_n

en fonction de

n

On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(v_n)$ .

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1	$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	$v(n)$	200	220	242	266	293	322	354	390	429	472	519

a) Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

b) En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?

c) Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé 400 individus, selon ce modèle ?

Corrigé détaillé

Partie A

Suite arithmétique, raison 20, u₀=200, uₙ=200+20 n.
2025 rang 6, u₆=320 marmottes.
Décompte 355, écart de 35 individus, soit environ 9,86 % du décompte, modèle sous-estime.

Partie B

20/200=10 %.
a)Géométrique, q=1,1, v₀=200. b)vₙ=200 × 1,1ⁿ.
a)v₆=354,3122≈354. b)Écart 0,6878, plus pertinent sur cette observation, sans garantie future. c)v₇=389,74342<400, v₈=428,717762>400, premier 8, juin 2027. Ne pas arrondir à chaque étape.

Exercice 2

8 points

Deux forêts — comparaison d'une croissance linéaire et exponentielle

On compte le nombre d'arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.

Partie A : Première forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 200 arbres.

On suppose que le nombre d'arbres augmente de 100 par an.

On modélise cette évolution par une suite

(u_n)

, où

u_n

représente le nombre d'arbres dans cette forêt au 1er janvier de l'année

2010 + n

pour tout entier naturel

n

Ainsi, on a

u_0 = 1\,200

Calculer $u_1$ et $u_2$ .

Interpréter

u_2

dans le contexte de l'exercice.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ .

En déduire la nature de la suite

(u_n)

et préciser sa raison

r

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

D'après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comportera-t-elle plus de 2 950 arbres ?

Partie B : Seconde forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 000 arbres.

On suppose que le nombre d'arbres augmente de 5 % par an.

On modélise cette évolution par une suite

(v_n)

, où

v_n

représente le nombre d'arbres dans cette forêt au 1er janvier de l'année

2010 + n

pour tout entier naturel

n

Ainsi, on a

v_0 = 1\,000

Calculer le nombre d'arbres au 1er janvier 2011.

Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et préciser sa raison $r$ .

D'après ce modèle, on estime qu'au 1er janvier 2030, il y aura environ 2 653 arbres sur la parcelle.

Quel terme de la suite a-t-on calculé ?

Quel a été le calcul effectué ?

Partie C : Comparaison des évolutions

Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d'arbres arrondi à l'unité dans les deux forêts.

$n$	0	1	2	3	…	26	27	28	29
$u_n$	1 200	1 300	1 400	1 500	…	3 800	3 900	4 000	4 100
$v_n$	1 000	1 050	1 103	1 158	…	3 556	3 733	3 920	4 116

Interpréter dans le contexte de l'exercice les résultats de la dernière colonne.

Corrigé détaillé

Partie A

u₁=1300, u₂=1400, en 2012.
uₙ₊₁=uₙ+100, arithmétique, r=100.
uₙ=1200+100 n.
n>17,5, premier 18, janvier 2028, u₁₇=2900, u₁₈=3000.

Partie B

1050 arbresen 2011.
Géométrique, q=1,05, v₀=1000.
2030 rang 20, v₂₀=1000 × 1,05²⁰≈2653,30≈2653 arbres.

Partie C Rang 29, janvier 2039 : première forêt 4100, seconde 4116,1356≈4116, soit environ 16 arbres de plus. En 2038,3920 contre 4000 : classement inverse.

Exercice 3

7 points

Jeu vidéo — gain d'expérience et énergie magique

Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique.

Partie A — Gain d'expérience

Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne 80 points d'expérience.

Quand vous commencez, votre personnage est au niveau 0 et a 20 points d'expérience.

Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau 1 ?

Montrer que quand votre personnage est au niveau 10, il a plus de 800 points d'expérience.

À quel niveau est votre personnage s'il a 2 020 points d'expérience ?

Justifier par un calcul.

Partie B — Gain d'énergie magique

À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau 0, le monstre neutralisé permet de récupérer 10 centilitres (cl) de potion magique.

À chaque niveau, cette quantité augmente de 20 % par rapport au niveau précédent.

Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.

Soit

n

un entier naturel.

On note

v_n

la quantité de potion magique (en cl) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau

n

Aide aux calculs

Puissance	Valeur
$1{,}2^2$	1,44
$1{,}2^3$	1,728
$1{,}2^4$	2,073 6
$1{,}2^5$	2,488 32
$1{,}2^6$	2,985 984
$1{,}2^7$	3,583 180 8
$1{,}2^8$	4,299 816 96
$1{,}2^9$	5,159 780 35
$1{,}2^{10}$	6,191 736 42
$1{,}2^{11}$	7,430 083 71

Expliquer pourquoi $v_0 = 10$ .

Justifier que $v_{n+1} = 1{,}2v_n$ pour tout entier naturel $n$ .

En déduire la nature de la suite $(v_n)$ et préciser sa raison.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

a) Montrer que $v_5 \approx 25$ .

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle 0,6 litre ?

Corrigé détaillé

Partie A

100 points.
20+80 × 10=820>800.
20+80 n=2020 donne n=25.

Partie B

v₀=10 cl donnés.
+20 % coefficient 1,2, vₙ₊₁=1,2 vₙ.
Géométrique, q=1,2, v₀=10.
vₙ=10 × 1,2ⁿcl.
a)24,8832≈25 cl. b)Quantité par monstre au niveau 5, non cumulée.
0,6 L=60 cl ; v₉=51,59780352<60, v₁₀=61,917364224>60, croissance : niveau 10. Les affichages arrondis 52 et 62 ne doivent pas servir d’arrondis intermédiaires.

Exercices de maths Première non-spécialité

Cette page est destinée aux élèves de Première générale qui n'ont pas choisi la spécialité mathématiques. Elle rassemble des QCM d'automatismes et des exercices de probabilités calibrés sur le tronc commun : calcul numérique et littéral, pourcentages et taux d'évolution, lecture graphique de fonctions et de droites, statistiques, tableaux croisés et arbres pondérés.

L'approche est plus légère que celle de la spécialité maths, tout en restant rigoureuse : l'objectif est de réussir les contrôles du tronc commun et de préparer efficacement la Terminale.

Ce que couvre la fiche Première non-spécialité

Les QCM d'automatismes travaillent les fractions, les puissances, les développements, les équations, les pourcentages et les évolutions successives, ainsi que la lecture graphique : équation réduite d'une droite, images et antécédents, résolution d'équations et d'inéquations, tableau de variations.

La partie probabilités s'appuie sur des tableaux croisés et des arbres pondérés : probabilités conditionnelles, indépendance, probabilités totales et répétition d'expériences identiques.

Questions fréquentes

Ces exercices sont-ils faits pour les élèves sans spécialité maths ?

Oui. Ils sont conçus pour le niveau du tronc commun de Première générale, sans les approfondissements de la spécialité maths.

Les exercices sont-ils corrigés ?

Oui. Les corrigés sont disponibles directement sous les sujets conservés, avec calculs, justifications et interprétations. Les lectures graphiques approximatives sont signalées.

Comment être aidé sur ces exercices ?

Vous pouvez déjà réserver une première séance de 30 min offerte pour travailler sur vos contrôles ou combler une lacune du tronc commun.

Combien d'exercices sont disponibles ?

La fiche historique conserve 21 sujets. La collection par chapitre propose 11 leçons de dix exercices corrigés, soit 110 exercices distincts, pour le programme 2026-2027.

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