Première STMG

Fonctions et taux de variation — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

  • L'image d'un nombre a est f(a). Un antécédent de b est une solution de f(x) = b appartenant au domaine étudié.
  • Pour a ≠ b, le taux de variation entre a et b est (f(b) − f(a))/(b − a).
  • Le taux de variation est le coefficient directeur de la droite sécante passant par les deux points correspondants.
  • Son unité est celle de la grandeur de sortie divisée par celle de la grandeur d'entrée.
  • Pour une fonction affine f(x) = mx + p, tous les taux de variation valent m. Un taux de variation n'est pas, en général, un taux d'évolution en pourcentage.

Exercice 1 — Images et coût moyen supplémentaire

Pour 0 ≤ x ≤ 5, on modélise un coût par C(x) = x² + 2x, en centaines d'euros, où x est une quantité en tonnes.
  1. Calculer C(1) et C(4), puis exprimer ces coûts en euros.
  2. Calculer le taux de variation de C entre 1 et 4. Donner son unité et son interprétation.
Corrigé détaillé
  1. C(1) = 1 + 2 = 3, soit 300 €. C(4) = 16 + 8 = 24, soit 2 400 €.
  2. Le taux vaut (24 − 3)/(4 − 1) = 7 centaines d'euros par tonne, soit 700 €/tonne. Entre 1 et 4 tonnes, le coût augmente en moyenne de 700 € par tonne supplémentaire. Ce résultat ne signifie pas que chaque tonne supplémentaire coûte exactement 700 €.

Exercice 2 — Antécédents et domaine de définition

On considère f(x) = x² sur l'intervalle [−3 ; 2].
  1. Déterminer tous les antécédents de 4, puis ceux de 9, dans cet intervalle.
  2. Le nombre −1 possède-t-il un antécédent ? Justifier sans utiliser de graphique.
Corrigé détaillé
  1. L'équation x² = 4 donne x = −2 ou x = 2 ; les deux appartiennent au domaine. L'équation x² = 9 donne x = −3 ou x = 3, mais seul −3 appartient à [−3 ; 2]. Ainsi 9 possède un seul antécédent dans le domaine : −3.
  2. Un carré est toujours positif ou nul. On ne peut donc pas avoir x² = −1 : −1 n'a aucun antécédent.

Exercice 3 — Comparer deux rythmes moyens

Le tableau donne le coût C d'une production de x unités.
x, en unités259
C(x), en euros100130190
  1. Calculer le taux de variation du coût entre 2 et 5 unités, puis entre 5 et 9 unités.
  2. Sur lequel des deux intervalles le coût augmente-t-il le plus vite en moyenne ? Le tableau suffit-il à affirmer que C est affine ?
Corrigé détaillé
  1. Entre 2 et 5 : (130 − 100)/(5 − 2) = 10 €/unité. Entre 5 et 9 : (190 − 130)/(9 − 5) = 15 €/unité.
  2. L'augmentation moyenne est plus forte entre 5 et 9 unités. Les deux taux étant différents, C ne peut pas être une fonction affine sur un intervalle contenant ces trois abscisses.

Exercice 4 — Reconstruire une fonction affine

Le coût d'une location de véhicule est une fonction affine C du nombre x de kilomètres parcourus. On sait que C(10) = 35 € et C(30) = 65 €.
  1. Déterminer l'expression de C(x).
  2. Interpréter le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, puis calculer le coût pour 50 km.
Corrigé détaillé
  1. Le coefficient directeur est (65 − 35)/(30 − 10) = 1,5. On écrit C(x) = 1,5x + p. Comme 35 = 1,5 × 10 + p, on obtient p = 20. Ainsi C(x) = 1,5x + 20.
  2. Le tarif variable est de 1,50 €/km et le forfait fixe est de 20 €. Pour 50 km, C(50) = 75 + 20 = 95 €.

Exercice 5 — Équation d'une droite sécante

On considère f(x) = x². Les points A et B de sa courbe ont pour abscisses respectives 1 et 3.
  1. Déterminer les coordonnées de A et B, puis l'équation de la droite (AB).
  2. Comparer, à l'abscisse 2, la valeur de f et celle donnée par la droite (AB).
Corrigé détaillé
  1. A(1 ;
  1. et B(3 ; 9). Le coefficient directeur de (AB) est (9 − 1)/(3 − 1) = 4. Son équation est y = 4(x − 1) + 1, soit y = 4x − 3.
  1. f(2) = 4, tandis que la droite donne 4 × 2 − 3 = 5. La valeur affine dépasse donc f(2) de 1. La sécante ne se confond pas avec la courbe entre ses deux points de contact.

Exercice 6 — Un taux nul ne prouve pas la constance

On étudie f(x) = x² − 4x sur [1 ; 3].
  1. Calculer le taux de variation entre 1 et 3.
  2. Calculer f(2) et expliquer pourquoi le résultat de la première question ne permet pas d'affirmer que f est constante sur [1 ; 3].
Corrigé détaillé
  1. f(1) = −3 et f(3) = −3. Le taux de variation est donc (−3 − (−3))/(3 − 1) = 0.
  2. f(2) = 4 − 8 = −4, différent de −3. La fonction n'est donc pas constante. Un taux moyen nul signifie seulement que les valeurs aux deux bornes sont égales ; il ne décrit pas toutes les valeurs intermédiaires.

Exercice 7 — Retrouver une valeur grâce au taux moyen

Une température T, exprimée en °C, est relevée en fonction du temps t, exprimé en minutes. On sait que T(2) = 18 et que le taux de variation de T entre 2 et 7 minutes est de −0,8 °C/min.
  1. Calculer T(7).
  2. Interpréter le signe du taux. Peut-on en déduire que la température baisse à chaque instant entre les deux relevés ?
Corrigé détaillé
  1. On a (T(7) − 18)/(7 − 2) = −0,8. Ainsi T(7) − 18 = −4, donc T(7) = 14 °C.
  2. Le taux négatif indique une baisse moyenne de 0,8 °C par minute entre les deux relevés, soit une baisse totale de 4 °C. Il ne prouve pas une baisse à chaque instant : des fluctuations intermédiaires restent possibles.

Exercice 8 — Taux de variation et taux d'évolution

Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de 100 milliers d'euros à la date t = 0 et de 130 milliers d'euros à la date t = 3 ans.
  1. Calculer le taux de variation entre ces deux dates, en milliers d'euros par an.
  2. Calculer le taux d'évolution global en pourcentage. Expliquer pourquoi les deux résultats ne sont pas interchangeables.
Corrigé détaillé
  1. Le taux de variation vaut (130 − 100)/(3 − 0) = 10 milliers d'euros par an, soit 10 000 €/an.
  2. Le taux d'évolution est (130 − 100)/100 = 0,30, soit une hausse globale de 30 %. Le premier résultat rapporte la variation au temps écoulé ; le second la rapporte au chiffre d'affaires initial. Ils n'ont ni le même dénominateur ni la même unité.

Exercice 9 — Comparer des taux sur des intervalles de même longueur

Pour f(x) = x², on compare les intervalles [0 ; 2] et [2 ; 4].
  1. Calculer le taux de variation sur chacun des deux intervalles.
  2. Expliquer pourquoi une même augmentation de x ne produit pas une même augmentation de f(x). Que peut-on en déduire sur le caractère affine de f ?
Corrigé détaillé
  1. Sur [0 ; 2], le taux est (4 − 0)/2 = 2. Sur [2 ; 4], il vaut (16 − 4)/2 = 6.
  2. Dans les deux cas, x augmente de 2, mais f augmente respectivement de 4 et de 12. Les taux moyens sont donc différents : la fonction carré n'est pas affine.

Exercice 10 — Interpolation affine et information réellement disponible

Un compteur indique 100 kWh à t = 0 h et 120 kWh à t = 4 h. Pour estimer les valeurs intermédiaires, on choisit un modèle affine E.
  1. Déterminer E(t), puis estimer la valeur du compteur à t = 1,5 h.
  2. Les deux relevés suffisent-ils à garantir la valeur réelle à 1,5 h ? Donner deux évolutions possibles compatibles avec ces relevés.
Corrigé détaillé
  1. La pente vaut (120 − 100)/4 = 5 kWh/h. Le modèle est E(t) = 100 + 5t. Il donne E(1,5) = 107,5 kWh.
  2. Non : l'estimation repose sur l'hypothèse affine. Par exemple, E₁(t) = 100 + 5t et E₂(t) = 100 + 1,25t² donnent toutes deux 100 à t = 0 et 120 à t = 4, mais E₂(1,5) = 102,8125 kWh. Les relevés ne déterminent donc pas à eux seuls le comportement intermédiaire.

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