Première STMG

Fonctions du second degré et signe — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

  • Une fonction du second degré s'écrit ax² + bx + c avec a ≠ 0.
  • Dans une forme factorisée a(x − r)(x − s), les racines se lisent directement : r et s.
  • Pour deux racines distinctes, le signe est celui de a à l'extérieur des racines et le signe opposé entre elles.
  • Un carré est positif ou nul. Une forme a(x − h)² + k permet de comparer la fonction à k.
  • Pour résoudre une équation ou une inéquation, utiliser les formes fournies, les identités remarquables et les signes des facteurs ; aucun discriminant n'est nécessaire.

Exercice 1 — Racines et signe d'un produit

On considère f(x) = (x − 2)(x − 3) sur ℝ.
  1. Déterminer les racines de f et compléter son tableau de signes.
  2. Résoudre f(x) ≤ 0, en précisant le rôle des égalités.
Corrigé détaillé
  1. Le produit s'annule pour x = 2 ou x = 3. Avant 2, les deux facteurs sont négatifs ; entre 2 et 3, ils sont de signes contraires ; après 3, ils sont positifs.
x]−∞ ; 2[2]2 ; 3[3]3 ; +∞[
Signe de f(x)+0−0+
  1. On cherche les valeurs où f est négative ou nulle : l'ensemble des solutions est [2 ; 3]. Les racines sont incluses à cause du symbole ≤.

Exercice 2 — Un coefficient négatif inverse les signes

Un bénéfice B, en milliers d'euros, dépend d'une quantité x comprise entre 0 et 6. On donne B(x) = −2(x − 1)(x − 5).
  1. Étudier le signe de B sur [0 ; 6].
  2. Pour quelles valeurs de x l'activité est-elle strictement bénéficiaire ? Que représentent les deux racines ?
Corrigé détaillé
  1. Le produit (x − 1)(x − 5) est positif à l'extérieur de [1 ; 5] et négatif entre 1 et 5. La multiplication par −2 inverse les signes.
x[0 ; 1[1]1 ; 5[5]5 ; 6]
Signe de B(x)−0+0−
  1. L'activité est strictement bénéficiaire pour 1 < x < 5. Aux valeurs x = 1 et x = 5, le bénéfice est nul : ce sont les seuils de rentabilité du modèle.

Exercice 3 — Deux écritures à confronter à une donnée

Un capteur doit suivre f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 et donner f(0)=3. Deux écritures sont proposées : A : (x−1)(x−3)(x-1)(x-3) ; B : (x−1)2−4(x-1)^2-4.
  1. Développer les propositions et choisir celle qui convient. Trouver un contre-exemple numérique pour l’autre.
  2. Avec le bon modèle, résoudre f(x)=0 et calculer f(2). Interpréter le signe entre les racines.
Corrigé détaillé
  1. A se développe en x2−4x+3x^2-4x+3, donc convient. B vaut x2−2x−3x^2-2x-3 ; en 0 elle donne −3 au lieu de 3 : contre-exemple.
  2. Les racines de A sont 1 et 3. f(2)=−1f(2)=-1. Entre les racines les facteurs sont opposés, donc f est négative. La forme factorisée facilite les racines et le signe ; l’écriture développée facilite la lecture de f(0).

Exercice 4 — Une racine double sans changement de signe

On considère g(x) = x² − 6x + 9.
  1. Écrire g sous la forme d'un carré et déterminer sa ou ses racines.
  2. Résoudre g(x) < 0, puis g(x) ≤ 0. Expliquer pourquoi le signe ne change pas au passage de la racine.
Corrigé détaillé
  1. L'identité remarquable donne g(x) = (x − 3)². La seule racine est x = 3 ; elle est double car le même facteur apparaît deux fois.
  2. Un carré ne peut pas être négatif : g(x) < 0 n'a aucune solution. Il est nul uniquement lorsque x − 3 = 0 : g(x) ≤ 0 a pour ensemble de solutions {3}. Pour x ≠ 3, le carré reste strictement positif des deux côtés de la racine.

Exercice 5 — Équation et maximum à partir d'un carré

Pour tout réel x, on donne h(x) = 9 − (x − 4)².
  1. Déterminer le maximum de h et l'abscisse où il est atteint, sans dériver.
  2. Résoudre h(x) = 5.
Corrigé détaillé
  1. Comme (x − 4)² ≥ 0, on a h(x) ≤ 9. L'égalité est atteinte si et seulement si x − 4 = 0. Le maximum est donc 9, atteint uniquement en x = 4.
  2. 9 − (x − 4)² = 5 équivaut à (x − 4)² = 4. Donc x − 4 = −2 ou x − 4 = 2. Les solutions sont x = 2 et x = 6.

Exercice 6 — Un coût toujours au-dessus d'un plancher

Un coût C, en centaines d'euros, est modélisé sur [0 ; 6] par C(x) = 2(x − 3)² + 5.
  1. Montrer que C(x) ≥ 5 et préciser le cas d'égalité.
  2. Un coût de 400 € est-il possible dans ce modèle ? Justifier en tenant compte de l'unité.
Corrigé détaillé
  1. Le carré est positif ou nul, donc 2(x − 3)² ≥ 0 et C(x) ≥ 5. L'égalité a lieu uniquement pour x = 3, qui appartient au domaine.
  2. Un coût de 400 € correspond à C(x) = 4, puisque C est exprimé en centaines d'euros. C'est impossible : le coût minimal est de 5 centaines d'euros, soit 500 €.

Exercice 7 — Comparer une courbe à une droite

On considère f(x) = x² et g(x) = 4x − 3 sur ℝ.
  1. Déterminer les abscisses où f(x) = g(x), en factorisant leur différence.
  2. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f(x) ≥ g(x).
Corrigé détaillé
  1. f(x) − g(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). L'égalité est donc réalisée pour x = 1 ou x = 3.
  2. Le produit est positif ou nul à l'extérieur de l'intervalle entre les deux racines. Ainsi f(x) ≥ g(x) pour x ∈ ]−∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[. Entre 1 et 3, la courbe de f est en dessous de celle de g.

Exercice 8 — D'une inéquation réelle à un choix entier

Un indicateur de gain est donné par B(x) = −(x − 1)(x − 5). La variable x doit être un entier de 0 à 6.
  1. Résoudre d'abord B(x) > 0 dans l'intervalle réel [0 ; 6].
  2. En déduire les choix entiers donnant un gain strictement positif. Distinguer ces choix des cas où le gain est nul.
Corrigé détaillé
  1. Le produit (x − 1)(x − 5) est négatif entre 1 et 5 ; son opposé y est positif. Les solutions réelles sont donc x ∈ ]1 ; 5[.
  2. Les choix entiers strictement bénéficiaires sont x = 2, 3 ou 4. Pour x = 1 ou x = 5, le gain est nul : ces valeurs ne satisfont pas l'inégalité stricte. Pour x = 0 ou x = 6, le gain est négatif.

Exercice 9 — Factoriser une différence de carrés

On considère p(x) = x² − 4.
  1. Factoriser p à l'aide d'une identité remarquable et déterminer ses racines.
  2. Résoudre p(x) > 0, puis expliquer pourquoi x = −3 est une solution alors que x = 0 ne l'est pas.
Corrigé détaillé
  1. x² − 4 = x² − 2² = (x − 2)(x + 2). Les racines sont −2 et 2.
  2. Le produit est strictement positif à l'extérieur des racines : les solutions sont ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[. En effet, p(−3) = 9 − 4 = 5 > 0, tandis que p(0) = −4 < 0. Les racines sont exclues car l'inégalité est stricte.

Exercice 10 — Construire un trinôme à partir de ses racines

Une fonction f du second degré possède pour racines −4 et 2. On sait que f(0) = −8.
  1. Écrire f(x) = a(x + 4)(x − 2), puis déterminer a et développer f.
  2. Déterminer l'ensemble des réels où f est strictement négative.
Corrigé détaillé
  1. En x = 0, on obtient −8 = a × 4 × (−2) = −8a, donc a = 1. Ainsi f(x) = (x + 4)(x − 2) = x² + 2x − 8.
  2. Le coefficient dominant est positif et les racines sont −4 et 2. Le produit est négatif entre les racines : f(x) < 0 pour x ∈ ]−4 ; 2[. Les bornes ne sont pas incluses car f y est nulle.

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