Première non-spécialité

Variation exponentielle et modèles $a^x$ — 10 exercices corrigés

Dix problèmes progressifs : données, calculs inverses, comparaison de modèles, critique et synthèse. Les formes utiles sont fournies ; aucune dérivation ni méthode du discriminant n’est requise.

L'essentiel à retenir

Un modèle Caᵗ,C>0,a>0,a pour valeur initiale C.
Croissance si a>1,décroissance si0<a<1,constance si a=1.
Le coefficient multiplicateur sur une demi-unité est la racine carrée de a ; un contrôle à un instant entier diffère du franchissement continu.

Exercice 1 — Reconnaître le modèle

Mesures supposées exactes.

t(h)	0	1	2	3
Masse(g)	80	100	125	156,25

1. Différences et quotients : choisir affine/exponentiel. 2. Modèle et prévisionen 4 h.

Corrigé détaillé

1. Différences 20,25,31,25 non constantes ; quotients 1,25 constants, modèle multiplicatif. 2.

M=80\times1{,}25^t

; M(4)=195,3125≈195,31 g, prévision non garantie.

Exercice 2 — Temps non entier

V(t)=200\times1{,}21^t

L, t≥0 h. 1. Valeursen 0 et 1, base. 2. Valeursen 0,5 et 1,5 ; hausse demi-heure 10,5 % ?

Corrigé détaillé

1. 200 et 242 L, hausse 21 %/h. 2. 1,21=1,1² ; V(0,5)=220 L, V(1,5)=266,2 L. Hausse 10 %, non 10,5 % ; deux coefficients 1,1 se multiplient.

Exercice 3 — Décroissance demi-journalière

m(t)=500\times0{,}81^t

mg, t≥0 jours. 1. Variations et baisse quotidienne. 2. Valeursen 0,5 et 1,5 jours.

Corrigé détaillé

1. 0<0,81<1, strictement décroissante, baisse 19 %, masse positive. 2. 0,81=0,9² ;450 mg et 364,5 mg. Chaque demi-journée baisse 10 % de la masse présente.

Exercice 4 — Valeur initiale inconnue

F(t)=A\times1{,}2^t

L, A>0, F(2)=432. 1. Retrouver A et interpréter. 2. F(3)et quotientF(3)/F(2).

Corrigé détaillé

1. 432=1,44 A, doncA=300 L, valeur initiale. 2. F(3)=518,4 L ;518,4/432=1,2, hausse 20 % par unité de temps.

Exercice 5 — Intérêts non additifs

C(t)=1000\times1{,}1^t

€, t en années. Un élève prévoit 1300 €après 3 ans. 1. Corriger et hausse globale. 2. Après 6 mois au centime, pourquoi pas 1050 € ?

Corrigé détaillé

1. 1331 €, gain 331 €, soit 33,1 % ; les coefficients se multiplient. 2.

1000\sqrt{1{,}1}\approx1048{,}81

€.5 % par semestre donnerait 1,05²=1,1025, non 1,1.

Exercice 6 — Contrôle discret et instant continu

N(t)=200\times1{,}5^t

unités, t en heures, contrôle aux heures entières. 1. Tableau 0 à 4. 2. Premiercontrôle>1000 et instant réel où 1000 estatteint.

Corrigé détaillé

n(h)	0	1	2	3	4
N	200	300	450	675	1012,5

2. Croissance et 675<1000<1012,5 : premier contrôle 4 h, instant continu strictement entre 3 et 4 h, non exactement 4 h.

Exercice 7 — Seuil par algorithme

c(t)=80\times0{,}8^t

mg/L, t en heures.

n ← 0 ; c ← 80
Tant que c > 20
    c ← 0,8 × c
    n ← n + 1
Afficher n

1. Rôle du test et valeursen 5,6,7 sans arrondis. 2. Sortie ; testpour strictement moins de 20.

Corrigé détaillé

1. Continuer tant que seuil non atteint ; c(5)=26,2144, c(6)=20,97152, c(7)=16,777216 mg/L. 2. Sortie 7, car 6 échoue et 7 convient, décroissance. Pour strictement moins de 20, continuer tant que c≥20 ; ici même sortie 7.

Exercice 8 — Deux stratégies à des instants non entiers

Deux prévisions d’un volume sont A(t)=100+20t et E(t)=100×1,44ᵗ litres, t en heures sur [0;2]. 1. Comparer les modèles à t=0,5 et t=1,5 en utilisant 1,44=1,2². 2. Un élève affirme que l’égalité à une demi-heure garantit l’égalité une heure plus tard. Réfuter et expliquer la différence de mécanisme.

Corrigé détaillé

1. À 0,5 h, A=110 L et E=100×1,2=120 L. À 1,5 h, A=130 L et E=100×1,2³=172,8 L. 2. L’égalité annoncée à 0,5 h est déjà fausse : 110≠120. Une demi-heure apporte 10 L fixes à A, mais multiplie E par 1,2. Les mécanismes sont différents ; l’égalité initiale A(0)=E(0)=100 L ne se prolonge pas. E dépasse A aux deux instants calculés ; ces calculs ne démontrent pas à eux seuls une comparaison pour tous les instants.

Exercice 9 — Changer d’unité

M(t)=600\times0{,}64^t

g, t en jours. 1. Coefficient demi-journée et taux. 2. Réécrire avec s demi-journées et calculeren 3. 3. Vérifier en jours.

Corrigé détaillé

1. Racine 0,64=0,8, −20 %, deuxdemi-journées−36 %, pas−40 %. 2. t=s/2,

M=600\times0{,}8^s

, après 3 :307,2 g. 3. 3 demi-journées=1,5 jour,

600\times0{,}64^{1{,}5}=307{,}2

g, même instant.

Exercice 10 — Synthèse modèle et doublement

Mesures exactes.

t(h)	0	2	4
Surface(cm²)	50	72	103,68

ModèlesL=50+11 t, S=50 × 1,2ᵗ. 1. Tester et choisir. 2. Prévision à une demi-heure au centième. 3. Déterminer le premier contrôle à une heure entière où la surface a au moins doublé, puis encadrer l’instant réel du doublement.

Corrigé détaillé

1. L donne 50,72,94 ; S 50,72,103,68, retenir S, sans garantie indéfinie. 2.

50\sqrt{1{,}2}\approx54{,}77

cm². 3. Double 100 ; S(3)=86,4<100, S(4)=103,68>100, croissance : contrôle 4 h, doublement continu entre 3 et 4 h.

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