Épreuves indépendantes et arbres de Bernoulli — 10 exercices corrigés
Dix exercices progressifs : lecture de données, calculs inverses, comparaison, justification et synthèse, avec un corrigé spécifique à chaque question.
L'essentiel à retenir
Une épreuve distingue succès et échec,probabilités p et1−p.
Les répétitions sont identiques et indépendantes,au plus quatre essais ici.
Multiplier le long d’un chemin et additionner les chemins disjoints ; « au moins un » a pour contraire « aucun ».
Exercice 1 — Deux transmissions
Capteur : succès 0,8 indépendamment à chaque essai, deux essais.1. Probabilités SS, SE, ES, EE et somme.2. Exactement un et au moins un succès ?
Trois graines indépendantes, p=0,6.1. Énumérer exactement une germination et probabilité.2. Zéro, trois ; les cas sont-ils exhaustifs ?
Corrigé détaillé
1. SEE, ESE, EES ; chacun 0,6 × 0,4²=0,096, total 0,288.2. EEE 0,064 ; SSS 0,216. Total avec un succès 0,568 : manque deux succès, probabilité 0,432.
Exercice 3 — Au moins une alerte sur quatre
Quatre contrôles identiques indépendants, palerte=0,1.1. Au moins une alerte ?2. Critiquer 4 × 0,1 et calculer exactement une.
Corrigé détaillé
1. Contraire EEEE :1−0,9⁴=0,3439.2. Les alertes peuvent se cumuler, donc addition simple surcompte. SEEE, ESEE, EESE, EEES ont chacun 0,1 × 0,9³=0,0729, total 0,2916.
Exercice 4 — Ordre ou nombre ?
Trois contrôles indépendants, p=0,7.1. Deux premiers réussis et troisième raté.2. Exactement deux réussis, expliquer différence.
Corrigé détaillé
1. SSE seul :0,7²× 0,3=0,147.2. SSE, SES, ESS ;3 × 0,147=0,441. Première question impose la place de l’échec, seconde autorise trois places.
Exercice 5 — Comparer deux stratégies de transmission
A :2 essais indépendants, p=0,8 ; B :3 essais indépendants, p=0,6. Succès global=au moins une réussite.1. Fiabilités.2. Objectif 95 % et limite pratique.
Corrigé détaillé
1. A 1−0,2²=0,96 ; B 1−0,4³=0,936.2. A seule atteint 95 %, gain 2,4 points surB. Une panne commune rendrait l’indépendance discutable.
Exercice 6 — Remise ou non ?
2 cartes vertes,3 blanches ; succès=verte.1. Avec remise et mélange, deux succès ?2. Sans remise, même calcul ?
Corrigé détaillé
1. Composition rétablie, tirages indépendants, p=2/5 ; SS=4/25=0,16.2. Après verte, reste 1 verte sur 4 ; SS=(2/5)(1/4)=1/10. Probabilité conditionnelle change : pas de Bernoulli identiques indépendantes.
Exercice 7 — Le prochain essai ne compense pas
Simulateur Bernoulli indépendant, p=0,5. Les quatre premiers résultats sont échecs.1. Probabilité de ce début.2. Prochain succès ; critique compensation.
Corrigé détaillé
1. EEEE=(1/2)⁴=1/16=0,0625.2. Toujours 1/2 par indépendance. Aucun mécanisme ne doit compenser une série ; stabilisation à long terme ne force pas le prochain résultat.
Exercice 8 — Retrouver la fiabilité
Deux essais identiques indépendants ; probabilité double échec 0,09.1. Retrouver p.2. Exactement un et au moins un succès.
Corrigé détaillé
1. q²=0,09 avecq≥0, donc q=0,3, p=0,7.2. SE, ES chacun 0,21, total 0,42 ; au moins un=1−0,09=0,91.
Exercice 9 — Majorité dans un modèle explicite
Trois lectures indépendantes, p correcte=0,9. Dans ce modèle résultat correct si et seulement si au moins deux lectures sont correctes.1. Chemins avec exactement deux correctes et probabilité.2. Fiabilité globale, comparaison et limite.
Corrigé détaillé
1. SSE, SES, ESS, chacun 0,9²× 0,1=0,081, total 0,243.2. Ajouter SSS 0,729, total 0,972, gain 7,2 points sur une lecture. Un code abîmé peut provoquer erreurs communes donc dépendance.
Exercice 10 — Partager tous les cas en quatre essais
Quatre essais indépendants, p=0,5 ; X, nombre de succès.1. Donner toute la loi en comptant les chemins ; énumérer X=2.2. P(X≥2), P(X=2 sachant X≥1).
Corrigé détaillé
1. X=2 : SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS. Les 16 chemins équiprobables donnent :
k
0
1
2
3
4
P(X=k)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
2. (6+4+1)/16=11/16=0,6875 ;6 chemins parmi 15 non nuls,6/15=2/5.
