Exercice 1 — Taxi : forfait, distance et budget
Un taxi facture 4 € puis 1,80 €/km.
1. Donner P(x), interpréter les coefficients et calculer pour 12 km.
2. Quelle distance maximale avec 31 € ?
Corrigé détaillé
1. P(x)=1,80 x+4 pour x≥0 ; 4 € sont fixes et 1,80 € dus par km. P(12)=25,60 €.
2. 1,80 x+4≤31 donne x≤15. Le maximum est 15 km.
Exercice 2 — Comparer deux ateliers
A facture 8 € puis 3 €/séance ; B, 26 € puis 1,50 €/séance.
1. Comparer pour 8 séances et trouver l’égalité.
2. Conseiller selon le nombre entier n.
Corrigé détaillé
1. A(n)=8+3 n ; B(n)=26+1,50 n. A(8)=32 €, B(8)=38 €. Égalité : 1,50 n=18, soit n=12, coût commun 44 €.
2. A−B=1,50 n−18 ; A est moins chère jusqu’à 11 séances, égalité en 12, B dès 13.
Exercice 3 — Conversion des températures
F=1,8 C+32 relie les degrés Fahrenheit et Celsius.
1. Convertir 25 °C et retrouver C pour 14 °F.
2. Quelle hausse de F pour +10 °C ?
Corrigé détaillé
1. F(25)=77 °F. 14=1,8 C+32 donne C=−10 °C.
2. F(C+10)−F(C)=1,8 × 10=18 °F. Le terme fixe 32 disparaît dans une différence ; +10 °C ne donne pas +50 °F.
Exercice 4 — Vidange et domaine physique
Une réserve contient 600 L et perd 25 L/min jusqu’à être vide.
1. Donner V(t), son domaine et V(8).
2. Quand reste-t-il au plus 150 L ?
Corrigé détaillé
1. V(t)=600−25 t ; zéro est atteint en 24 min, domaine [0;24]. V(8)=400 L.
2. −25 t≤−450 donne t≥18, en inversant le signe à la division par −25. La réponse dans le domaine est [18;24] minutes.
Exercice 5 — Étalonnage inverse
Un capteur affine donne les mesures suivantes.
1. Trouver y=ax+b et prévoir en x=5.
2. Retrouver x pour y=16. Corrigé détaillé
1. a=(19−7)/(8−2)=2 ; b=7−2 × 2=3. y=2 x+3 ; en 5, y=13.
2. 2 x+3=16 donne x=6,5, entre les mesures d’étalonnage.
Exercice 6 — Seuil de rentabilité et entier
Une association paie 280 € fixes et 11 €/objet ; elle vend tout à 18 €/objet.
1. Donner coût, recette, bénéfice.
2. Trouver les seuils sans perte et avec bénéfice strict, puis B(65).
Corrigé détaillé
1. C=280+11 n ; R=18 n ; B=7 n−280 euros.
2. B≥0 donne n≥40 ; en 40, équilibre. B>0 exige au moins 41 objets. B(65)=455−280=175 €.
Exercice 7 — Une fausse proportionnalité
1. Proposer et vérifier deux modèles affines.
2. Quelle série est proportionnelle ? Comparer x=4 au double de x=2. Corrigé détaillé
1. A=2 x+3 redonne 3,7,13 ; B=3 x redonne 0,6,15.
2. B seule est proportionnelle : terme fixe nul. A(4)=11≠2 A(2)=14 ; B(4)=12=2 B(2).
Exercice 8 — Prévision hors du trajet
Il reste 180 km au départ et 120 km après 3 h. Le modèle suppose une vitesse constante.
1. Trouver d(t), d(5) et l’arrivée.
2. Critiquer d(10)=−20 km.
Corrigé détaillé
1. Pente −60/3=−20 km/h ; d(t)=180−20 t. d(5)=80 km ; arrivée en 9 h.
2. Le calcul est juste mais hors domaine [0;9]. Une distance restante ne peut pas être négative ; après l’arrivée, ce modèle n’est plus utilisable.
Exercice 9 — Concentration d’un mélange
On mélange x litre de B à 13 g/L et 1−x litre de A à 3 g/L, volumes additifs, 0≤x≤1.
1. Donner la masse M(x) et M(0,35).
2. Quels volumes pour 8 g de sel ?
Corrigé détaillé
1. M=13 x+3(1−x)=10 x+3 g ; M(0,35)=6,5 g dans le litre obtenu.
2. 10 x+3=8 donne x=0,5. Il faut 0,5 L de chaque : 6,5+1,5=8 g.
Exercice 10 — Contrôler un modèle énergétique
| t (h) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|
| Mesure (kWh) | 1 | 5,1 | 8,9 | 13,2 |
Corrigé détaillé
1. Prévisions 1,5,9,13 ; écarts 0 ; 0,1 ; −0,1 ; 0,2 kWh. Le critère est respecté sans exactitude parfaite.
2. E(5)=11 kWh, interpolation car 5 appartient à [0;6].