Première non-spécialité

Statistiques à deux variables et ajustement affine — 10 exercices corrigés

Dix études de données : point moyen, ajustements, calcul inverse, écarts, seuils et critique des prévisions.

L'essentiel à retenir

Une série bivariée associe deux mesures au même individu ; préserver les couples et les unités.
Le point moyen contient les moyennes des deux variables.
L’ajustement est approché : contrôler les écarts, distinguer interpolation et extrapolation.
Une association ne démontre pas une causalité.

Exercice 1 — Température et visiteurs

Données pédagogiques fictives.

Température x (°C)	10	14	18	22
Visiteurs y	42	57	73	88

1. Donner les quatre couples et leur point moyen. 2. Les points sont-ils alignés ? Décrire la tendance sans conclure à une cause.

Nuage exact des quatre couples température-visiteurs

Corrigé détaillé

1. (10;42), (14;57), (18;73), (22;88). Le point moyen est G(64/4;260/4)=G(16;65). 2. Pour +4 °C, les augmentations sont 15,16,15 visiteurs, non constantes : pas d’alignement exact. Association croissante, mais météo, animations et jours de semaine peuvent intervenir.

Exercice 2 — Interpréter une pente et des écarts

Mesures fictives d’une sonde.

Profondeur x (m)	0	2	4	6
Température y (°C)	19	17	16	12

Modèle y=−x+19. 1. Interpréter la pente, prévoir à 3 m. 2. Écarts observation−prévision aux quatre profondeurs ; modèle exact ?

Corrigé détaillé

1. Pente −1 °C/m : diminution prévue d’un degré par mètre. À 3 m :16 °C, interpolation. 2. Prévisions 19,17,15,13 ; écarts 0,0,1, −1 °C. La droite approche les mesures sans les reproduire toutes.

Exercice 3 — Droite passant par deux moyennes

Production fictive.

Temps x (h)	1	2	3	4
Objets y	7	10	12	19

1. Calculer les points moyens des deux premières et des deux dernières observations. 2. Trouver la droite les reliant et prévoir à 2,5 h ; portée ?

Corrigé détaillé

1. G₁(1,5;8,5), G₂(3,5;15,5). 2. Pente 7/2=3,5 objets/h ; constante 8,5−3,5 × 1,5=3,25. y=3,5 x+3,25 ; à 2,5 h :12 objets. Interpolation approchée, non garantie de production.

Exercice 4 — Comparer deux ajustements

Données fictives.

x	1	2	3
y	4	5	9

A: y=2 x+2 ; B: y=2,5 x+1. 1. Calculer la somme des carrés des écarts pour chacun. 2. Choisir et prévoir en x=2,4 ; optimum parmi toutes les droites prouvé ?

Corrigé détaillé

1. A prévoit 4 ; 6 ;

Ses écarts sont 0 ; −1 ; 1 : somme des carrés 2. B prévoit 3,5 ; 6 ; 8,5. Ses écarts sont 0,5 ; −1 ; 0,5 : somme des carrés 1,5.

2. B meilleur parmi les deux : en 2,4 il donne 7. On n’a pas comparé toutes les droites, donc aucun optimum général démontré.

Exercice 5 — Interpolation et extrapolation d’un bassin

Données fictives.

Années depuis 2020 x	0	2	4	6
Écart au niveau de référence y(cm)	1	4	6	11

Modèle y=1,5 x+0,5. 1. Prévisions 2023 et 2030, types. 2. Écart en 2026 et fragilité de 2030.

Corrigé détaillé

1. 2023: x=3, y=5 cm, interpolation ;2030: x=10, y=15,5 cm, extrapolation. 2. En 2026 modèle 9,5 cm contre 11 : sous-estimation 1,5 cm. La tendance peut changer hors[0;6] et le modèle n’est déjà pas exact dans les observations.

Exercice 6 — Constante imposée par le point moyen

Données fictives.

Animations x	0	1	2	3
Entrées y	3	6	6	9

Droite de pente 1,8 passant par le point moyen. 1. Retrouver le point moyen et la constante. 2. Prévoir pour 2 animations et comparer.

Corrigé détaillé

1. G(1,5;6). 6=1,8 × 1,5+b donne b=3,3. 2. Pour 2, prévision 6,9 entrées, soit environ 7 ; observation 6, écart−0,9. Passer par G ne signifie pas passer par tous les points.

Exercice 7 — Une observation exceptionnelle

Mesures fictives.

x(min)	1	2	3	4	5
y(unités)	3	5	6	8	25

1. Point moyen complet et des quatre premières. 2. Modèle des premières y=1,6 x+1,5 : écart du cinquième et démarche responsable.

Corrigé détaillé

1. G(3;47/5)=G(3;9,4), G₄(2,5;5,5). 2. En 5, prévision 9,5 ; écart 25−9,5=15,5. Vérifier saisie, instrument, conditions ; ne pas supprimer automatiquement une mesure surprenante qui peut être réelle.

Exercice 8 — Une droite masque la courbure

Distances fictives.

Temps x(s)	0	1	2	3
Distance y(m)	0	1	4	10

1. Droite des points extrêmes et prévisions en 1,2. 2. Écarts et pertinence du modèle affine.

Corrigé détaillé

1. Pente 10/3 m/s, constante 0 ; y=(10/3)x. Prévisions 10/3≈3,33 m et 20/3≈6,67 m. 2. Écarts−7/3 et−8/3 m. Les augmentations mesurées 1,3,6 m par seconde augmentent, alors qu’un modèle affine suppose une augmentation constante.

Exercice 9 — Cause commune : glaces et baignades

Données fictives.

Glaces x	20	40	60	80
Baigneurs y	12	25	33	50

1. Point moyen ; y=0,6 x passe-t-il par lui ? 2. Prévision 50 glaces ;10 glaces supplémentaires causent-elles 6 baigneurs ?

Corrigé détaillé

1. G(50;30) et 0,6 × 50=30. Mais en 40, prévision 24 contre 25 : pas tous les points. 2. Prévision 30 baigneurs. Il s’agit d’une association, non d’un effet causal ; la chaleur peut augmenter simultanément les ventes et la baignade.

Exercice 10 — Seuil prévu sans promesse

Indice fictif.

Années x	0	1	2	3
y	40	44	45	49

Modèle y=3 x+40. 1. Premier rang entier où y≥55. 2. Point moyen et passage de la droite ; la prévision est-elle validée ?

Corrigé détaillé

1. 3 x+40≥55 donne x≥5, premier rang 5, hors observations : extrapolation. 2. G(1,5;44,5), et 3 × 1,5+40=44,5. Cela ne garantit pas le seuil : en 1 le modèle donne 43 contre 44 et la tendance peut changer.

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