Probabilités conditionnelles et indépendance — 10 exercices corrigés
Dix exercices progressifs : lecture de données, calculs inverses, comparaison, justification et synthèse, avec un corrigé spécifique à chaque question.
L'essentiel à retenir
P(B sachant A)=P(A∩B)/P(A) si P(A)>0.
La condition détermine la population de référence ; inverser la condition change généralement le résultat.
Additionner les probabilités des chemins disjoints ; tester l’indépendance par P(A∩B)=P(A)P(B).
Exercice 1 — Bénévoles et formation
Choix uniforme parmi 120 bénévoles.
Formés
Non
Total
Nouveaux N
18
42
60
Anciens
48
12
60
Total
66
54
120
1. P(F sachant N), P(N∩F).2. P(N sachant F) et différence.
Corrigé détaillé
1. 18/60=3/10 ;18/120=3/20.2. 18/66=3/11≈27,3 %. Les groupes de référence sont respectivement nouveaux, tous, formés.
Exercice 2 — Pluie et retard : probabilité inverse
Modèle fictif : pluie 0,3 ; retard 0,4 si pluie et 0,1 sinon.1. Calculer pluie∩retard et retard.2. Probabilité de pluie sachant retard ?
Corrigé détaillé
1. 0,3 × 0,4=0,12 ; retard=0,12+0,7 × 0,1=0,19 par partition pluie/non.2. 0,12/0,19=12/19≈63,2 %. Retard rend la pluie plus probable, non certaine.
Exercice 3 — Test positif et faux positifs
Modèle pédagogique sans décision médicale :100 malades sur 10000 ;90 positifs parmi malades et 495 positifs parmi 9900 autres.1. Construire tableau.2. Probabilité malade sachant positif ; critiquer «90 %».
Corrigé détaillé
1.
Positif
Négatif
Total
Malade
90
10
100
Non
495
9405
9900
Total
585
9415
10000
2. 90/585=2/13≈15,4 %.90 % est positif sachant malade, non la probabilité inverse.
Exercice 4 — Indépendance et incompatibilité
Numérisé N
Papier
Total
Urgent U
24
16
40
Non
36
24
60
Total
60
40
100
Choix uniforme.1. Comparer P(N sachant U), P(N).2. Autre test d’indépendance ; incompatibles ?
Corrigé détaillé
1. 24/40=0,6=60/100.2. P(U∩N)=0,24=P(U)P(N)=0,4 × 0,6. Indépendants mais pas incompatibles :24 dossiers vérifient les deux.
1. Impossible d’être les deux couleurs :0 ; conditionnelle 0/(4/10)=0.2. P(R)P(B)=0,4 × 0,3=0,12≠0. Les événements disjoints de probabilités positives ne sont pas indépendants.
Exercice 6 — Retrouver une probabilité manquante
Réserve : zone A 40 % de surface, zone B 60 %. Présence d’une plante 0,25 en A et 0,34 globalement, point uniforme.1. Présence en B ?2. Origine A sachant présence ?
Corrigé détaillé
1. 0,34=0,4 × 0,25+0,6 q, donc q=0,4.2. P(A∩présence)=0,10 ;0,10/0,34=5/17≈29,4 %. Présence plus fréquente en B.
Exercice 7 — Comparer deux filtres
20 % de courriels indésirables. A alerte 90 % d’eux et 10 % des autres ; B 80 % et 2 %.1. Probabilité d’alerte pour chacun.2. Proportion d’indésirables parmi alertes et compromis.
Corrigé détaillé
1. A 0,2 × 0,9+0,8 × 0,1=0,26 ; B 0,2 × 0,8+0,8 × 0,02=0,176.2. A 0,18/0,26=9/13≈69,2 % ; B 0,16/0,176=10/11≈90,9 %. B alerte plus pertinemment mais manque 20 % d’indésirables contre 10 % pourA.
Exercice 8 — Sans remise : information du premier tirage
3 piles chargées et 2 déchargées ; deux tirages uniformes sans remise.1. P(C₂ sachant C₁), P(C₁∩C₂).2. P(C₂) et indépendance ?
Corrigé détaillé
1. 2/4=1/2 ; (3/5)(2/4)=3/10.2. (3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5.1/2≠3/5, donc non indépendants : la composition change.
Exercice 9 — Sondage filtré
60 % utilisent une application A ;75 % de ces utilisateurs activent notifications N ; impossible sans application.1. P(N), P(A sachant N).2. Indépendants ? Pourquoi pas 75 % globalement ?
Corrigé détaillé
1. P(N)=0,6 × 0,75=0,45 ; N implique A, donc P(A sachant N)=1.2. 1≠P(A)=0,6 : non indépendants.75 % porte sur utilisateurs seulement,45 % sur tous.
Exercice 10 — Presque équilibré n’est pas exactement indépendant
Favorable F
Non
Total
Informé I
31
19
50
Non
29
21
50
Total
60
40
100
1. Indépendance exacte ?2. P(I sachant F) et portée de l’écart.
Corrigé détaillé
1. P(F sachant I)=31/50=0,62≠0,60 ; aussi 0,31≠0,5 × 0,6=0,30.2. 31/60≈51,7 %. Petit écart sans preuve causale ni généralisation à une population : collecte et fluctuations peuvent intervenir.
