Première STMG

Variables aléatoires et espérance — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire.
Une loi donne toutes les valeurs possibles et leurs probabilités, positives ou nulles et de somme 1.
Pour une variable finie, E(X) est la somme des produits « valeur × probabilité ».
L'espérance est une moyenne théorique à long terme, pas nécessairement une valeur possible.
Un gain net tient compte des mises et des coûts. Une transformation Y = aX + b donne E(Y) = aE(X) + b.

Exercice 1 — Un jeu à six faces

On lance un dé équilibré. Le gain net X vaut 8 € si l'on obtient 6, 1 € si l'on obtient 4 ou 5 et −2 € sinon. 1. Établir la loi de X et calculer P(X > 0). 2. Calculer E(X) et expliquer pourquoi cette valeur n'est pas un gain que l'on peut obtenir en une partie.

Corrigé détaillé

1. On regroupe les faces produisant le même gain.

x, en €	−2	1	8
P(X = x)	3/6	2/6	1/6

La somme des probabilités vaut 1. P(X > 0) = 2/6 + 1/6 = 1/2, soit 50 %. 2. E(X) = −2 × 3/6 + 1 × 2/6 + 8 × 1/6 = 4/6 = 2/3 €, soit environ 0,67 € par partie. Ce résultat est une moyenne théorique sur de nombreuses parties ; les seuls gains d'une partie sont −2 €, 1 € et 8 €.

Exercice 2 — Compléter une loi de remboursements

Le remboursement X accordé après une réclamation suit la loi incomplète suivante.

x, en €	0	10	30
P(X = x)	0,5	a	0,2

1. Déterminer a et calculer P(X ≥ 10). 2. Calculer l'espérance du remboursement et le budget moyen théorique pour 200 réclamations de même loi.

Corrigé détaillé

1. La somme des probabilités doit être 1 : 0,5 + a + 0,2 = 1, donc a = 0,3. La loi complète est :

x, en €	0	10	30
P(X = x)	0,5	0,3	0,2

P(X ≥ 10) = 0,3 + 0,2 = 0,5. 2. E(X) = 0 × 0,5 + 10 × 0,3 + 30 × 0,2 = 9 €. Pour 200 réclamations, le budget moyen théorique est 200 × 9 = 1 800 €. Le coût effectivement réalisé peut être différent.

Exercice 3 — Résultat d'un contrat d'assurance

Un assureur reçoit une cotisation de 30 €. Avec probabilité 0,02, il verse une indemnité de 1 000 € ; sinon il ne verse rien. X est son résultat sur un contrat, hors autres frais. 1. Établir la loi de X en tenant compte de la cotisation dans les deux cas. 2. Calculer E(X), puis le résultat moyen théorique pour 500 contrats de même loi.

Corrigé détaillé

1. Sans sinistre, X = 30 €. Avec sinistre, X = 30 − 1 000 = −970 €.

x, en €	−970	30
P(X = x)	0,02	0,98

2. E(X) = −970 × 0,02 + 30 × 0,98 = −19,40 + 29,40 = 10 € par contrat. Pour 500 contrats, le résultat moyen théorique est 500 × 10 = 5 000 €, avant frais de fonctionnement. Une espérance positive n'exclut pas des pertes sur certains contrats.

Exercice 4 — Espérance d'un nombre d'acceptations

Deux personnes acceptent indépendamment une invitation avec probabilité 0,4 chacune. X est le nombre d'acceptations. 1. Établir la loi complète de X à partir des quatre chemins possibles. 2. Calculer E(X) et P(X ≥ 1), puis expliquer pourquoi ces deux résultats ne représentent pas la même grandeur.

Corrigé détaillé

1. Les probabilités des chemins refus-refus, acceptation-refus, refus-acceptation et acceptation-acceptation sont 0,36 ; 0,24 ; 0,24 ; 0,16.

x, en acceptations	0	1	2
P(X = x)	0,36	0,48	0,16

2. E(X) = 0 × 0,36 + 1 × 0,48 + 2 × 0,16 = 0,8 acceptation par paire invitée. P(X ≥ 1) = 0,48 + 0,16 = 0,64, soit 64 %. Le premier résultat est un nombre moyen d'acceptations ; le second est une probabilité, sans unité.

Exercice 5 — Prix équitable d'un ticket

Un ticket donne un lot de valeur L selon la loi suivante.

L, en €	0	5	20
Probabilité	0,7	0,2	0,1

Le ticket coûte c euros et le gain net du joueur est G = L − c. 1. Calculer E(L) et déterminer c pour que E(G) = 0. 2. Si le ticket coûte 4 €, donner la loi complète de G et calculer E(G).

Corrigé détaillé

1. E(L) = 0 × 0,7 + 5 × 0,2 + 20 × 0,1 = 3 €. Comme E(G) = E(L) − c = 3 − c, le prix équitable au sens de l'espérance est c = 3 €. 2. Pour c = 4 € :

g, en €	−4	1	16
P(G = g)	0,7	0,2	0,1

E(G) = −4 × 0,7 + 1 × 0,2 + 16 × 0,1 = −1 €. Le joueur perd théoriquement 1 € par ticket en moyenne à long terme.

Exercice 6 — Frais fixes et commission

Le montant X d'une vente suit la loi suivante.

x, en €	20	50	100
P(X = x)	0,5	0,3	0,2

Une plateforme reverse au vendeur Y = 0,9X − 2, après une commission de 10 % et des frais fixes de 2 €. 1. Établir la loi de Y. 2. Calculer E(X) et E(Y), puis vérifier la relation entre ces deux espérances.

Corrigé détaillé

1. On transforme chaque montant : 0,9 × 20 − 2 = 16 ; 0,9 × 50 − 2 = 43 ; 0,9 × 100 − 2 = 88.

y, en €	16	43	88
P(Y = y)	0,5	0,3	0,2

2. E(X) = 20 × 0,5 + 50 × 0,3 + 100 × 0,2 = 45 €. E(Y) = 16 × 0,5 + 43 × 0,3 + 88 × 0,2 = 38,50 €. On retrouve 0,9E(X) − 2 = 0,9 × 45 − 2 = 38,50 €. C'est le montant moyen reversé par vente.

Exercice 7 — Deux primes de même espérance

Un salarié peut choisir une prime A ou une prime B.

Montant de A, en €	0	100
Probabilité	0,5	0,5

Montant de B, en €	40	60
Probabilité	0,5	0,5

1. Calculer les deux espérances. 2. Pour chaque choix, calculer la probabilité d'obtenir au moins 40 €, puis expliquer pourquoi l'égalité des espérances ne rend pas les choix identiques.

Corrigé détaillé

1. E(A) = 0 × 0,5 + 100 × 0,5 = 50 €. E(B) = 40 × 0,5 + 60 × 0,5 = 50 €. Les deux primes ont la même moyenne théorique. 2. P(A ≥ 40) = 0,5, tandis que P(B ≥ 40) = 1. Avec A, le salarié peut recevoir 100 € mais aussi rien ; avec B, il reçoit toujours au moins 40 €, sans pouvoir dépasser 60 €. L'espérance ne décrit donc pas à elle seule les possibilités et les risques.

Exercice 8 — Coût moyen d'une garantie

Pour un produit vendu, le coût X d'une garantie est de 0 € sans intervention, 20 € pour une réparation simple et 100 € pour un remplacement.

x, en €	0	20	100
P(X = x)	0,85	0,10	0,05

1. Calculer E(X) et la probabilité d'une intervention payante pour l'entreprise. 2. L'entreprise facture cette garantie 9 €. Donner la loi de sa marge M = 9 − X et son espérance, hors autres frais.

Corrigé détaillé

1. E(X) = 0 × 0,85 + 20 × 0,10 + 100 × 0,05 = 7 €. La probabilité d'une intervention payante vaut 0,10 + 0,05 = 0,15, soit 15 %. 2. Les marges possibles sont 9 €, −11 € et −91 €.

m, en €	−91	−11	9
P(M = m)	0,05	0,10	0,85

E(M) = 9 − E(X) = 2 €, ce que confirme −91 × 0,05 − 11 × 0,10 + 9 × 0,85 = 2. La marge moyenne est positive avant les autres frais.

Exercice 9 — Construire une loi à partir d'un dé

On lance un dé équilibré dont le résultat est D. On définit X comme la distance entre D et 3, c'est-à-dire X = |D − 3|. 1. Donner X pour chacune des six faces, puis établir sa loi complète. 2. Calculer E(X) et P(X ≤ 1).

Corrigé détaillé

1. Pour D = 1, 2, 3, 4, 5, 6, on obtient respectivement X = 2, 1, 0, 1, 2, 3. Il faut regrouper les faces donnant la même distance.

x	0	1	2	3
P(X = x)	1/6	2/6	2/6	1/6

2. E(X) = 0 × 1/6 + 1 × 2/6 + 2 × 2/6 + 3 × 1/6 = 9/6 = 1,5. La distance moyenne théorique à 3 est donc 1,5 unité. P(X ≤ 1) = 1/6 + 2/6 = 1/2.

Exercice 10 — Déterminer une loi grâce à une espérance

Une prime X prend les valeurs 0 €, 10 € et 30 €. On sait que P(X = 0) = 0,5 et que E(X) = 9 €. 1. En notant a = P(X = 10) et b = P(X = 30), déterminer a et b puis présenter la loi complète. 2. Calculer la probabilité de recevoir au moins l'espérance de la prime et interpréter.

Corrigé détaillé

1. La somme des probabilités donne a + b = 0,5. L'espérance donne 10a + 30b = 9. En remplaçant a par 0,5 − b : 5 − 10b + 30b = 9, donc 20b = 4 et b = 0,2. Ainsi a = 0,3.

x, en €	0	10	30
P(X = x)	0,5	0,3	0,2

2. Comme E(X) = 9 €, l'événement X ≥ E(X) correspond aux primes de 10 € ou 30 €. Sa probabilité vaut 0,3 + 0,2 = 0,5. La moyenne de 9 € n'est jamais versée elle-même ; une personne sur deux reçoit au moins cette moyenne dans le modèle.

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