Exercice 1 — Indice et taux global
Un indice vaut 500 en 2026 et augmente de 8 %/an.
1. Donner récurrence, terme et prévision 2029 au dixième.
2. Hausse globale égale à 24 % ?
Corrigé détaillé
1. q=1,08 ; uₙ₊₁=1,08 uₙ ; uₙ=500 × 1,08ⁿ. u₃=629,856≈629,9.
2. 1,08³−1=0,259712, hausse 25,9712 %, pas 24 % : les bases successives augmentent.
Exercice 2 — Décote et pertes en euros
Un matériel de 24000 € perd 15 %/an.
1. Donner vₙ, v₂ et v₄ au centime.
2. Comparer les pertes des deux premières années.
Corrigé détaillé
1. vₙ=24000 × 0,85ⁿ ; v₂=17340 € ; v₄=12528,15 €.
2. v₁=20400 ; pertes 3600 puis 3060 €. Le taux reste constant, pas la perte absolue.
Exercice 3 — Concentration et tableau de seuil
1000 mg/L diminuent de 20 %/cycle.
1. Donner cₙ et tableau pour n=4,5,6,7 au dixième.
2. Premier cycle strictement sous 250 mg/L ?
Corrigé détaillé
1. cₙ=1000 × 0,8ⁿ.
| n | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|
| cₙ (mg/L) arrondi | 409,6 | 327,7 | 262,1 | 209,7 |
Exercice 4 — Retrouver une raison positive
Suite géométrique positive : u₂=72, u₄=162.
1. Trouver q et u₀.
2. Calculer u₅ et taux par étape.
Corrigé détaillé
1. q²=162/72=2,25 ; q>0 donne q=1,5. u₀=72/2,25=32.
2. uₙ=32 × 1,5ⁿ ; u₅=243, aussi 162 × 1,5. Le taux est +50 %.
Exercice 5 — Rebonds et conversion
Balle lâchée de 2 m, chaque rebond atteint 60 % de la hauteur précédente.
1. Donner hₙ, h₁, h₃ et h₄ en cm.
2. Premier rebond sous 30 cm ?
Corrigé détaillé
1. hₙ=2 × 0,6ⁿ mètres ; h₁ = 120 cm ; h₃ = 43,2 cm ; h₄ = 25,92 cm.
2. La suite décroît ; h₃>30 et h₄<30, donc quatrième rebond. On parle de hauteur maximale, pas de distance parcourue.
Exercice 6 — Terme ou cumul d’invitations
10 invitations au jour 1, nombre doublé chaque jour pendant 6 jours.
1. Formule et dernier terme.
2. Total et plafond de 600 invitations ?
Corrigé détaillé
1. aₙ=10 × 2ⁿ⁻¹ ; a₆=320.
2. 10+20+40+80+160+320=630, soit 30 de trop. À cinq jours le cumul est 310 ; 320 ne représente que le sixième jour.
Exercice 7 — Comparer additive et multiplicative
Deux indices partent de 200 ; A gagne 30/an et B augmente de 10 %/an.
1. Formules et tableau en 1,5,8,9 au dixième.
2. Parmi ces années, où B dépasse-t-il A ?
Corrigé détaillé
1. Aₙ=200+30 n, arithmétique ; Bₙ=200 × 1,1ⁿ, géométrique.
| n | 1 | 5 | 8 | 9 |
|---|
| Aₙ | 230 | 350 | 440 | 470 |
| Bₙ arrondi | 220,0 | 322,1 | 428,7 | 471,6 |
Exercice 8 — Trois modèles à distinguer
| n | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|
| A | 40 | 50 | 60 | 70 |
| B | 40 | 60 | 90 | 135 |
| C | 40 | 60 | 85 | 115 |
Corrigé détaillé
1. A : différences 10,10,10, arithmétique. B : quotients 1,5,1,5,1,5, géométrique.
2. A₄=80 ; B₄=202,5. C a différences 20,25,30 et quotients 1,5 puis 85/60≈1,417 : ni l’une ni l’autre. Un terme suivant exige une autre hypothèse.
Exercice 9 — Taux moyen à reconstituer
Indice 1000 en 2026, 1728 en 2029, hausse annuelle constante.
1. Équation pour q>0 ; vérifier q=1,2.
2. Valeurs intermédiaires et comparaison des taux annuel/global.
Corrigé détaillé
1. Trois évolutions : 1000 q³=1728 ; 1,2³=1,728, donc q=1,2, unique positif.
2. 2027 :1200 ; 2028 :1440. Taux annuel 20 %, global 72,8 %, non 60 %.
Exercice 10 — Distinguer un ajout fixe d’une évolution relative
Une cuve contient 100 L. Chaque jour on retire 25 % puis on ajoute 20 L. On note uₙ le volume après n jours.
1. Donner la récurrence, calculer u₁ et u₂, puis montrer par les quotients que cette suite n’est pas géométrique.
2. Avec un volume initial inconnu V, quel volume initial permettrait de garder le même volume après une journée ? Vérifier qu’il resterait alors constant les jours suivants.
Corrigé détaillé
1. uₙ₊₁=0,75uₙ+20 ; u₁=95 L ; u₂=91,25 L. Les quotients 95/100=0,95 et 91,25/95≈0,9605 sont différents : la suite n’est pas géométrique.
2. Il faut 0,75V+20=V, donc 0,25V=20 et V=80 L. On vérifie 0,75×80+20=80. Chaque jour reproduit le même calcul : le volume resterait 80 L. Une suite constante positive est géométrique de raison 1, mais ce n’était pas le cas avec le volume initial 100 L.