Première STMG

Suites arithmétiques en Première STMG : exercices corrigés

Dix exercices progressifs sur les suites arithmétiques en Première STMG, avec questions séparées et corrigés détaillés.

L'essentiel à retenir

Définition : $u_{n+1} = u_n + r$ , où $r$ est la raison.
Terme général : $u_n = u_0 + n\,r$ .
Somme de termes consécutifs : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

Exercice 1 — Terme général et seuil

Une suite

(u_n)

est arithmétique de premier terme

u_0 = 200

et de raison

r = 20

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .
À partir de quel rang $n$ a-t-on $u_n \geq 500$ ?

Corrigé détaillé

$u_n = u_0 + n\,r = 200 + 20n$ .
$u_{10} = 200 + 20 \times 10 = 400$ .
On résout $200 + 20n \geq 500$ , soit $20n \geq 300$ , donc $n \geq 15$ . À partir du rang $n = 15$ , on a $u_n \geq 500$ (en effet $u_{15} = 500$ ).

Exercice 2 — Abonnés d'une salle de sport

Une salle de sport compte 1 200 abonnés en 2024 et gagne 150 abonnés chaque année. On note

u_n

le nombre d'abonnés en

2024 + n

Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner $u_0$ et $r$ .
Combien d'abonnés la salle comptera-t-elle en 2030 ?
Calculer $u_0 + u_1 + \dots + u_6$ .

Corrigé détaillé

Chaque année on ajoute 150 : $u_{n+1} = u_n + 150$ . La suite est arithmétique, avec $u_0 = 1\,200$ et $r = 150$ .
2030 correspond à $n = 6$ : $u_6 = 1\,200 + 6 \times 150 = 2\,100$ abonnés.
La somme compte 7 termes, de $u_0 = 1\,200$ à $u_6 = 2\,100$ : $S = 7 \times \dfrac{1\,200 + 2\,100}{2} = 7 \times 1\,650 = 11\,550$ .

Exercice 3 — Reconnaître une suite arithmétique

Pour tout entier

n

, on pose

u_n = 3n - 4

v_n = n^2

La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ?
La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ?

Corrigé détaillé

$u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 4 - (3n - 4) = 3$ . La différence est constante : $(u_n)$ est arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = -4$ .
$v_0 = 0$ , $v_1 = 1$ , $v_2 = 4$ . Alors $v_1 - v_0 = 1$ mais $v_2 - v_1 = 3$ . La différence n'est pas constante : $(v_n)$ n'est pas arithmétique.

Exercice 4 — 4. Retrouver une suite à partir de deux termes

Le nombre d'abonnés d'une association est modélisé par une suite arithmétique (uₙ), où n est le nombre de mois écoulés depuis janvier. On sait que u₃ = 145 et u₈ = 220. 1. Déterminer la raison r et le nombre initial u₀. 2. Donner uₙ en fonction de n et prévoir le nombre d'abonnés au mois d'indice 12.

Corrigé détaillé

1. Entre les indices 3 et 8, il y a 5 augmentations identiques. Ainsi r = (220 − 145)/(8 − 3) = 75/5 = 15 abonnés par mois. Comme u₃ = u₀ + 3r, on obtient u₀ = 145 − 45 = 100 abonnés. 2. Le terme général est uₙ = 100 + 15n. Donc u₁₂ = 100 + 15 × 12 = 280 abonnés. Ce résultat est une prévision fondée sur le maintien d'un gain mensuel constant.

Exercice 5 — 5. Un stock qui diminue

Un entrepôt possède 500 cartons au début de la semaine 0. Chaque semaine, 35 cartons sont retirés, sans réapprovisionnement. On note uₙ le stock après n semaines, tant que le stock permet les retraits. 1. Exprimer uₙ et déterminer la première semaine où le stock devient strictement inférieur à 200 cartons. 2. Déterminer le nombre maximal de retraits hebdomadaires complets possibles et le stock restant.

Corrigé détaillé

1. Le stock diminue d'une quantité constante : la raison est −35 et uₙ = 500 − 35n. L'inégalité 500 − 35n < 200 donne n > 300/35 ≈ 8,57. Le premier indice entier est 9. Vérification : u₈ = 220 et u₉ = 185 cartons. 2. Un retrait complet reste possible tant que 35n ≤ 500, soit n ≤ 14,28 environ. On peut donc effectuer 14 retraits complets. Il reste u₁₄ = 500 − 490 = 10 cartons, insuffisants pour un quinzième retrait de 35.

Exercice 6 — 6. Total de versements croissants

Une entreprise verse une prime mensuelle de 80 € le premier mois. Elle augmente ensuite cette prime de 15 € chaque mois pendant 12 mois. On note v₁ = 80 le premier versement. 1. Calculer la prime du douzième mois. 2. Calculer le total des primes versées sur les douze mois et la prime mensuelle moyenne.

Corrigé détaillé

1. Entre le premier et le douzième mois, il y a 11 augmentations. Donc v₁₂ = 80 + 11 × 15 = 245 €. 2. Les douze versements forment une suite arithmétique. Leur somme vaut S = 12 × (80 + 245)/2 = 1 950 €. La moyenne mensuelle est S/12 = 162,50 €. On retrouve aussi la demi-somme du premier et du dernier versement : (80 + 245)/2 = 162,50 €.

Exercice 7 — 7. Quand deux offres coûtent-elles autant ?

Pour un service utilisé n mois, avec n entier positif ou nul, l'offre A coûte Aₙ = 120 + 18n euros et l'offre B coûte Bₙ = 60 + 23n euros. Les termes constants représentent les frais de mise en service. 1. Déterminer au bout de combien de mois les deux offres ont le même coût et calculer ce coût. 2. Déterminer l'offre la moins chère avant puis après cette durée.

Corrigé détaillé

1. L'égalité 120 + 18n = 60 + 23n donne 60 = 5n, donc n = 12 mois. Le coût commun est 120 + 18 × 12 = 336 €, également égal à 60 + 23 × 12. 2. On étudie la différence Aₙ − Bₙ = 60 − 5n. Elle est positive pour n < 12 : B est alors moins chère. Elle est nulle pour n = 12. Elle est négative pour n > 12 : A devient moins chère, car son coût mensuel supplémentaire est plus faible.

Exercice 8 — 8. Reconnaître ou réfuter un modèle arithmétique

Trois commerces annoncent les chiffres d'affaires trimestriels suivants, en milliers d'euros.

Trimestre	1	2	3	4
Commerce A	40	44	48	52
Commerce B	40	44	48,4	53,24
Commerce C	60	57	54	51

1. Calculer les différences consécutives et identifier les lignes compatibles avec une suite arithmétique sur les quatre trimestres. 2. En prolongeant uniquement ces modèles arithmétiques, prévoir le cinquième trimestre et préciser pourquoi les données seules ne garantissent pas cette prévision.

Corrigé détaillé

1. Pour A, les différences sont 4, 4 et 4 milliers d'euros : la ligne est compatible avec une raison 4. Pour B, elles valent 4, 4,4 et 4,84 : la raison n'est pas constante. Pour C, elles valent −3, −3 et −3 : la ligne est compatible avec une raison −3. 2. Pour A, le cinquième terme prévu est 52 + 4 = 56 milliers d'euros, soit 56 000 €. Pour C, il vaut 51 − 3 = 48 milliers d'euros, soit 48 000 €. Quatre observations ne prouvent pas que la même évolution se poursuivra : ces prévisions reposent sur l'hypothèse de prolongement du modèle.

Exercice 9 — 9. Retrouver le nombre de versements

Une personne effectue un premier versement de 20 €, puis augmente chaque versement de 5 € par rapport au précédent. Après m versements, où m ≥ 1, la somme versée atteint exactement 360 €. 1. Exprimer le dernier versement et la somme totale en fonction de m. 2. Déterminer m et vérifier le montant du dernier versement.

Corrigé détaillé

1. Le m-ième versement vaut 20 + 5(m − 1) = 5m + 15 euros. La somme vaut Sₘ = m × [20 + (5m + 15)]/2 = (5m² + 35m)/2 euros. 2. L'égalité Sₘ = 360 conduit à 5m² + 35m = 720, soit m² + 7m − 144 = 0. On factorise : (m − 9)(m + 16) = 0. Comme m est positif, m = 9. Le dernier versement vaut 20 + 8 × 5 = 60 €. Vérification : 9 × (20 + 60)/2 = 360 €.

Exercice 10 — 10. Traduire correctement une date de seuil

En 2026, une médiathèque compte 1 200 inscrits. Elle prévoit 80 inscrits supplémentaires chaque année. On pose u₀ = 1 200 pour 2026. 1. Exprimer uₙ et déterminer la première année où le nombre prévu d'inscrits dépasse strictement 1 500. 2. Calculer le nombre moyen prévu d'inscrits sur les cinq années de 2026 à 2030 incluses.

Corrigé détaillé

1. La suite est arithmétique de raison 80 : uₙ = 1 200 + 80n. On résout 1 200 + 80n > 1 500, soit n > 3,75. Le premier indice est 4, correspondant à 2026 + 4 = 2030. On vérifie u₃ = 1 440 et u₄ = 1 520 inscrits. 2. Les cinq années correspondent aux indices 0 à 4, soit cinq termes et non quatre. La somme vaut 5 × (1 200 + 1 520)/2 = 6 800 inscrits-années. La moyenne annuelle est 6 800/5 = 1 360 inscrits. Il ne s'agit pas du nombre de personnes distinctes inscrites sur toute la période.

Besoin d'aide sur ce chapitre ?

Réserver le bilan offert de 30 min Cours particuliers de maths en Première