Première STMG

Statistiques à deux variables et ajustement affine — 10 exercices corrigés Première STMG

Dix exercices progressifs : données, calculs inverses, choix de modèles, analyse critique et problèmes appliqués, avec des corrigés spécifiques à chaque question.

L'essentiel à retenir

Une série à deux variables associe à chaque individu un couple (x ; y). Les unités et l'appariement des données doivent être conservés.
Le point moyen est G(x̄ ; ȳ), où chaque moyenne est calculée sur les mêmes individus.
Un ajustement affine s'écrit y = ax + b. Le coefficient a mesure la variation estimée de y pour une unité supplémentaire de x.
Une interpolation reste dans l'intervalle observé ; une extrapolation en sort et nécessite davantage de prudence.
Un résidu est la différence entre valeur observée et valeur estimée. Une association statistique ne prouve pas une causalité.

Exercice 1 — Le point moyen d'une campagne

Une entreprise relève les données suivantes.

Dépense publicitaire x, en centaines d'euros	2	4	6	8
Nombre de commandes y	15	19	26	28

1. Calculer les coordonnées du point moyen G et préciser leurs unités. 2. La droite proposée est y = 2,2x + 11. Vérifier qu'elle passe par G et estimer les commandes pour une dépense de 500 €. S'agit-il d'une interpolation ?

Corrigé détaillé

1. On calcule séparément les deux moyennes : x̄ = (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 5 et ȳ = (15 + 19 + 26 + 28)/4 = 22. Ainsi G(5 ;

: l'abscisse correspond à 500 € et l'ordonnée à 22 commandes.

2. Pour x = 5, la droite donne 2,2 × 5 + 11 = 22 : elle passe bien par G. Comme 500 € correspondent à x = 5, l'estimation est de 22 commandes. C'est une interpolation, car 5 appartient à l'intervalle observé [2 ; 8]. Le passage par G ne suffit toutefois pas à prouver que cet ajustement est le meilleur.

Exercice 2 — Consommation d'un appareil

Les mesures d'un appareil sont données ci-dessous.

Durée x, en heures	1	2	4
Énergie y, en kWh	3	5	9

1. Déterminer l'équation de la droite passant par les points (1 ;

et (4 ; 9), puis vérifier la troisième mesure.

2. Interpréter le coefficient directeur et estimer l'énergie consommée en 3 heures.

Corrigé détaillé

1. Le coefficient directeur vaut a = (9 − 3)/(4 − 1) = 2. Avec (1 ; 3), on obtient 3 = 2 × 1 + b, donc b = 1. L'équation est y = 2x + 1. Pour x = 2, elle donne 5 kWh : les trois points sont alignés. 2. Le modèle prévoit 2 kWh supplémentaires par heure de fonctionnement. Pour 3 heures, y = 2 × 3 + 1 = 7 kWh. C'est une interpolation. L'ordonnée à l'origine de 1 kWh appartient au modèle ; aucune mesure à zéro heure n'est fournie pour la confirmer.

Exercice 3 — Refroidissement : une tendance décroissante

On relève la température d'un produit pendant une courte phase de refroidissement.

Temps x, en minutes	0	2	4	6
Température y, en °C	80	71	59	50

On retient le modèle y = −5x + 80, uniquement sur [0 ; 6]. 1. Calculer les températures estimées aux quatre instants et les résidus « observé − estimé ». 2. Selon ce modèle, à quel instant la température atteint-elle 65 °C ?

Corrigé détaillé

1. On remplace x dans −5x + 80.

x, en min	0	2	4	6
Température estimée, en °C	80	70	60	50
Résidu, en °C	0	1	−1	0

Les écarts ne dépassent pas 1 °C sur ces mesures ; cela rend ce modèle plausible sur la période observée. 2. On résout −5x + 80 = 65, soit −5x = −15, donc x = 3 minutes. Cette estimation est une interpolation, puisque 3 appartient à [0 ; 6].

Exercice 4 — Retrouver un budget à partir d'un objectif

Pour des budgets publicitaires compris entre 1 et 6 milliers d'euros, une étude propose y = 12x + 30, où y est le nombre de demandes de devis et x le budget en milliers d'euros. 1. Estimer le nombre de demandes pour un budget de 2 500 €. 2. Déterminer le budget minimal prévu par ce modèle pour obtenir au moins 90 demandes. L'utilisation du modèle reste-t-elle dans l'intervalle étudié ?

Corrigé détaillé

1. Il faut convertir le budget : 2 500 € = 2,5 milliers d'euros. Le modèle donne y = 12 × 2,5 + 30 = 60 demandes. 2. On résout 12x + 30 ≥ 90, soit 12x ≥ 60 et x ≥ 5. Le budget minimal estimé est donc de 5 000 €. Comme 5 appartient à [1 ; 6], le calcul reste dans l'intervalle étudié. Il s'agit d'un objectif prévu par un ajustement, non d'une garantie commerciale.

Exercice 5 — Comparer deux ajustements

On dispose de trois observations.

x, en heures de formation	1	2	3
y, nombre de dossiers traités	5	6	11

Deux modèles sont proposés : A : y = 3x + 1 ; B : y = 3x + 2. 1. Pour chaque modèle, calculer les trois résidus puis la somme de leurs carrés. 2. Choisir le meilleur de ces deux modèles selon ce critère et donner son estimation pour 4 heures, en précisant une limite.

Corrigé détaillé

1. Voici les calculs complets.

x	y observé	Estimation A	Résidu A	Estimation B	Résidu B
1	5	4	1	5	0
2	6	7	−1	8	−2
3	11	10	1	11	0

Pour A : 1² + (−1)² + 1² = 3. Pour B : 0² + (−2)² + 0² = 4. Ces sommes sont exprimées en carrés de nombres de dossiers. 2. A est préférable parmi les deux modèles proposés, car 3 < 4. Pour x = 4, il prévoit 3 × 4 + 1 = 13 dossiers. C'est une extrapolation au-delà des durées observées : sa fiabilité n'est pas établie.

Exercice 6 — Une association n'est pas une cause

Une station balnéaire recueille les données suivantes sur quatre journées.

Température x, en °C	18	22	26	30
Glaces vendues y	90	130	170	210

1. Vérifier que les observations suivent exactement la relation y = 10x − 90 et calculer le point moyen. 2. Un commerçant affirme : « Vendre 40 glaces supplémentaires fait monter la température de 4 °C. » Expliquer l'erreur et donner une interprétation correcte du coefficient 10.

Corrigé détaillé

1. Les valeurs calculées sont 10 × 18 − 90 = 90, puis 130, 170 et 210 : les quatre couples vérifient la relation. Les moyennes sont x̄ = 96/4 = 24 °C et ȳ = 600/4 = 150 glaces, donc G(24 ; 150). 2. Une relation statistique ne prouve pas que les ventes provoquent une hausse de température. Ici, la chaleur peut favoriser l'achat de glaces ; la fréquentation peut aussi intervenir. Le coefficient 10 signifie que, sur ces données, une hausse de température de 1 °C est associée à 10 glaces vendues de plus.

Exercice 7 — Effet d'une observation exceptionnelle

Une boutique relève ses ventes hebdomadaires.

Semaine x	1	2	3	4	5
Ventes y, en articles	20	22	24	26	80

La semaine 5 correspond à une promotion exceptionnelle. 1. Calculer le point moyen des cinq observations, puis celui des quatre premières. 2. La tendance des quatre premières semaines est y = 2x + 18. Calculer le résidu de la semaine 5 et expliquer pourquoi cette semaine doit être commentée avant de prévoir la semaine 6.

Corrigé détaillé

1. Sur cinq semaines : x̄ = 15/5 = 3 et ȳ = 172/5 = 34,4, donc G(3 ; 34,4). Sur les quatre premières : x̄ = 10/4 = 2,5 et ȳ = 92/4 = 23, donc G₀(2,5 ; 23). La promotion déplace fortement l'ordonnée moyenne. 2. Pour la semaine 5, le modèle prévoit 2 × 5 + 18 = 28 articles. Le résidu vaut 80 − 28 = 52 articles. Cette valeur exceptionnelle n'est pas nécessairement une erreur : elle traduit une promotion. Il faut savoir si celle-ci continue avant de prévoir la semaine 6 ; on ne doit ni supprimer automatiquement la donnée, ni supposer que la hausse sera durable.

Exercice 8 — Changer l'origine des années

Le chiffre d'affaires d'une petite entreprise est modélisé par y = 15x + 120, où y est en milliers d'euros et x est le nombre d'années écoulées depuis 2022. Les observations couvrent 2022 à 2026 inclus. 1. Estimer les chiffres d'affaires de 2024 et de 2027 et distinguer interpolation et extrapolation. 2. On remplace x par z, nombre d'années écoulées depuis 2024. Écrire le même modèle en fonction de z.

Corrigé détaillé

1. Pour 2024, x = 2 : y = 15 × 2 + 120 = 150, soit 150 000 €. C'est une interpolation. Pour 2027, x = 5 : y = 195, soit 195 000 €. C'est une extrapolation, car les observations s'arrêtent en 2026. 2. Une même année vérifie x = z + 2. Ainsi y = 15(z + 2) + 120 = 15z + 150. Le coefficient directeur reste 15 milliers d'euros par an ; seule l'ordonnée à l'origine change, car l'année de référence change.

Exercice 9 — Un modèle affine peut être inadapté

Un site suit le nombre de visites pendant quatre jours.

Jour x	1	2	3	4
Visites y	10	20	40	80

1. Calculer les trois variations absolues entre jours consécutifs. Les points peuvent-ils être exactement alignés ? 2. Déterminer la droite passant par les observations des jours 1 et 4, puis calculer son estimation et son résidu au jour 2. Conclure.

Corrigé détaillé

1. Les variations valent 20 − 10 = 10, 40 − 20 = 20 et 80 − 40 = 40 visites. Pour des abscisses régulièrement espacées, des points alignés auraient des variations absolues constantes. Ce n'est pas le cas. 2. Le coefficient directeur vaut (80 − 10)/(4 − 1) = 70/3. L'ordonnée à l'origine vaut 10 − 70/3 = −40/3. Au jour 2, la droite prévoit 100/3 ≈ 33,33 visites. Le résidu vaut 20 − 100/3 = −40/3 ≈ −13,33 visites. Cette droite relie les extrémités mais surestime nettement la deuxième observation ; la croissance accélérée rend un ajustement affine discutable.

Exercice 10 — Conserver les couples de données

On compare deux fichiers concernant quatre salariés.

Salarié	A	B	C	D
Heures de formation x	1	2	3	4
Dossiers traités y, fichier initial	8	6	4	2
y après un tri indépendant erroné	2	4	6	8

1. Calculer le point moyen dans chacun des deux fichiers. 2. Déterminer la relation affine exacte dans chaque fichier et expliquer pourquoi trier séparément les deux colonnes fausse l'étude.

Corrigé détaillé

1. Dans les deux fichiers, x̄ = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5 et ȳ = (8 + 6 + 4 + 2)/4 = 5. Les deux points moyens sont donc G(2,5 ; 5). 2. Initialement, y diminue de 2 dossiers par heure supplémentaire : y = −2x + 10. Après le tri erroné, y = 2x. Le signe de la tendance est inversé alors que les moyennes restent identiques. Les valeurs de y ne sont plus associées aux bons salariés ; il faut trier les lignes entières pour conserver chaque couple.

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