Première STMG

Probabilités conditionnelles en Première STMG : exercices corrigés

Dix exercices corrigés de probabilités conditionnelles pour Première STMG, avec tableaux croisés, arbres et indépendance.

L'essentiel à retenir

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (probabilité de $B$ sachant $A$ ).
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : on multiplie le long d'une branche.
Probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Exercice 1 — Tableau croisé : satisfaction des clients

Une enquête auprès de 200 clients donne :

	Satisfait	Non satisfait	Total
Achat en ligne	90	30	120
Achat en magasin	50	30	80
Total	140	60	200

On choisit un client au hasard.

L

: « achat en ligne »,

S

: « satisfait ».

Calculer $P(S)$ et $P(L \cap S)$ .
Calculer $P_L(S)$ .
Calculer $P_S(L)$ .

Corrigé détaillé

$P(S) = \dfrac{140}{200} = 0{,}7$ et $P(L \cap S) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45$ .
Parmi les 120 clients en ligne, 90 sont satisfaits : $P_L(S) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75$ .
Parmi les 140 clients satisfaits, 90 ont acheté en ligne : $P_S(L) = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14} \approx 0{,}643$ .

Exercice 2 — Arbre pondéré et probabilités totales

On donne

P(A) = 0{,}6

P_A(B) = 0{,}3

P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5

Construire l'arbre pondéré.
Calculer $P(A \cap B)$ puis $P(B)$ .
Calculer $P_B(A)$ .

Arbre : P(A)=0,6 ; P(B sachant A)=0,3 ; P(B sachant non A)=0,5. — Les quatre chemins ont pour probabilités 0,18 ; 0,42 ; 0,20 ; 0,20.

Corrigé détaillé

Premier niveau : $A$ ( $0{,}6$ ) et $\overline{A}$ ( $0{,}4$ ). Après $A$ : $B$ ( $0{,}3$ ), $\overline{B}$ ( $0{,}7$ ). Après $\overline{A}$ : $B$ ( $0{,}5$ ), $\overline{B}$ ( $0{,}5$ ).
$P(A \cap B) = 0{,}6 \times 0{,}3 = 0{,}18$ ; $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$ . Donc $P(B) = 0{,}18 + 0{,}2 = 0{,}38$ .
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}38} = \dfrac{9}{19} \approx 0{,}474$ .

Exercice 3 — Indépendance de deux événements

On donne

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}5

P(A \cap B) = 0{,}2

. Les événements

A

B

sont-ils indépendants ?

Corrigé détaillé

P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)

. Les événements

A

B

sont indépendants (on vérifie aussi

P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5 = P(B)

Exercice 4 — 4. Achats selon le canal de contact

Parmi 300 prospects, 120 ont été contactés par courriel et les autres par téléphone. On compte 48 acheteurs parmi les contacts par courriel et 90 parmi les contacts téléphoniques. C signifie « contacté par courriel » et A « a acheté ». 1. Construire le tableau croisé complet puis calculer P(A sachant C) et P(A). 2. Calculer P(C sachant A) et expliquer pourquoi cette valeur diffère de P(A sachant C).

Corrigé détaillé

1. Les non-acheteurs sont 120 − 48 = 72 par courriel et 180 − 90 = 90 par téléphone.

	Achat A	Pas d'achat	Total
Courriel C	48	72	120
Téléphone	90	90	180
Total	138	162	300

P(A sachant C) = 48/120 = 0,4, soit 40 %. P(A) = 138/300 = 0,46, soit 46 %. 2. P(C sachant A) = 48/138 = 8/23 ≈ 0,3478, soit 34,78 %. La première probabilité prend pour population les 120 contacts par courriel ; la seconde les 138 acheteurs. Les dénominateurs et les questions ne sont pas les mêmes.

Exercice 5 — 5. Deux machines de production

Une machine M produit 60 % des pièces d'un atelier et une machine N les 40 % restantes. Le taux de défaut est de 2 % pour M et de 5 % pour N. On choisit une pièce au hasard ; D signifie « défectueuse ». 1. Calculer P(M ∩ D), P(N ∩ D) et P(D). 2. Sachant que la pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de N.

Corrigé détaillé

1. Les deux origines forment une partition. P(M ∩ D) = 0,6 × 0,02 = 0,012 et P(N ∩ D) = 0,4 × 0,05 = 0,020. Donc P(D) = 0,012 + 0,020 = 0,032, soit 3,2 %. 2. P(N sachant D) = P(N ∩ D)/P(D) = 0,020/0,032 = 0,625, soit 62,5 %. Bien que N ne produise que 40 % de toutes les pièces, elle est à l'origine de 62,5 % des pièces défectueuses dans ce modèle, car son taux de défaut est plus élevé.

Exercice 6 — 6. Un test positif n'est pas une certitude

Dans une population, 1 % des personnes présentent une affection. Un test est positif pour 90 % des personnes atteintes et pour 5 % des personnes non atteintes. On raisonne sur une population théorique de 10 000 personnes. 1. Construire le tableau complet des effectifs théoriques selon l'affection et le résultat du test. 2. Calculer la probabilité qu'une personne soit atteinte sachant que son test est positif, puis interpréter.

Corrigé détaillé

1. Il y a 100 personnes atteintes et 9 900 non atteintes. Parmi les premières, 90 tests sont positifs ; parmi les secondes, 9 900 × 0,05 = 495 le sont.

	Test positif	Test négatif	Total
Atteinte	90	10	100
Non atteinte	495	9 405	9 900
Total	585	9 415	10 000

2. Parmi les 585 tests positifs, 90 concernent une personne atteinte. La probabilité recherchée vaut 90/585 = 2/13 ≈ 0,1538, soit 15,38 %. Un test positif n'est donc pas une certitude d'affection ; la faible proportion initiale de personnes atteintes joue un rôle important.

Exercice 7 — 7. Retrouver une probabilité manquante

Dans un magasin, 40 % des clients possèdent une carte de fidélité. Parmi eux, 70 % achètent un produit promotionnel. Sur l'ensemble de la clientèle, 52 % achètent ce produit. C signifie « possède la carte » et A « achète le produit ». 1. Déterminer P(A sachant non C). 2. Calculer P(C sachant A) et comparer cette probabilité à la proportion initiale de porteurs de carte.

Corrigé détaillé

1. Posons q = P(A sachant non C). La formule des probabilités totales donne 0,52 = 0,4 × 0,7 + 0,6q. Donc 0,6q = 0,24 et q = 0,4. Parmi les clients sans carte, 40 % achètent le produit. 2. P(C ∩ A) = 0,4 × 0,7 = 0,28. Ainsi P(C sachant A) = 0,28/0,52 = 7/13 ≈ 0,5385, soit 53,85 %. Les porteurs de carte représentent 40 % de tous les clients mais environ 53,85 % des acheteurs du produit ; ils sont donc surreprésentés parmi ces acheteurs.

Exercice 8 — 8. Trois défauts dans un lot : tirage sans remise

Un lot contient 10 articles, dont 3 défectueux et 7 conformes. On tire successivement deux articles sans remise. D₁ signifie « premier article défectueux » et D₂ « second article défectueux ». 1. Calculer P(D₂ sachant D₁), P(D₂ sachant non D₁) puis P(D₁ ∩ D₂). 2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement un article défectueux.

Corrigé détaillé

1. Après un premier défaut, il reste 2 défectueux sur 9 articles : P(D₂ sachant D₁) = 2/9. Après un premier article conforme, il reste 3 défectueux sur 9 : P(D₂ sachant non D₁) = 3/9. Ainsi P(D₁ ∩ D₂) = (3/10) × (2/9) = 1/15 ≈ 6,67 %. 2. Les chemins possibles sont défaut-conforme et conforme-défaut. La probabilité totale vaut (3/10) × (7/9) + (7/10) × (3/9) = 42/90 = 7/15 ≈ 46,67 %. Les probabilités du second tirage dépendent du premier : il ne faut pas traiter ces tirages comme indépendants.

Exercice 9 — 9. Des pourcentages égaux révèlent une indépendance

Une enquête porte sur 250 salariés. T signifie « télétravaille » et F « a suivi une formation ».

	F	non F	Total
T	60	40	100
non T	90	60	150
Total	150	100	250

1. Calculer P(F sachant T), P(F sachant non T) et P(F). 2. Vérifier l'indépendance de T et F par le produit des probabilités, puis calculer P(T sachant F).

Corrigé détaillé

1. P(F sachant T) = 60/100 = 0,6 ; P(F sachant non T) = 90/150 = 0,6 ; P(F) = 150/250 = 0,6. La proportion de salariés formés est la même dans les deux groupes et dans l'ensemble. 2. P(T) = 100/250 = 0,4 et P(T ∩ F) = 60/250 = 0,24. Comme P(T)P(F) = 0,4 × 0,6 = 0,24, les événements sont indépendants sur cette population. De plus, P(T sachant F) = 60/150 = 0,4, identique à P(T). Connaître la formation ne change pas ici la probabilité de télétravail.

Exercice 10 — 10. Des résultats globaux trompeurs

Deux agences traitent des dossiers simples ou complexes. Tous les effectifs sont donnés ci-dessous.

Agence et difficulté	Dossiers acceptés	Dossiers refusés	Total
A, simples	81	9	90
A, complexes	2	8	10
B, simples	10	0	10
B, complexes	27	63	90
Total	120	80	200

1. Calculer les taux globaux d'acceptation des agences A et B. 2. Calculer les taux d'acceptation de chaque agence conditionnellement à la difficulté. Expliquer pourquoi le classement global diffère du classement dans chaque catégorie.

Corrigé détaillé

1. A accepte 81 + 2 = 83 dossiers sur 100, soit 83 %. B en accepte 10 + 27 = 37 sur 100, soit 37 %. Globalement, A présente le taux le plus élevé. 2. Pour les dossiers simples : A accepte 81/90 = 90 %, B accepte 10/10 = 100 %. Pour les complexes : A accepte 2/10 = 20 %, B accepte 27/90 = 30 %. B a donc le meilleur taux dans chacune des deux catégories. Mais A traite surtout des dossiers simples, tandis que B traite surtout des complexes. Les compositions des deux clientèles sont différentes : comparer seulement les taux globaux masque cet effet de structure et ne mesure pas à lui seul la performance des agences.

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