Première non-spécialité

Fonctions du second degré : racines et signe — 10 exercices corrigés

Dix problèmes progressifs : données, calculs inverses, comparaison de modèles, critique et synthèse. Les formes utiles sont fournies ; aucune dérivation ni méthode du discriminant n’est requise.

L'essentiel à retenir

Racines et signe se lisent dans la forme factorisée ;le coefficient dominant décide du signe extérieur.
Une racine double ne change pas le signe.
Respecter domaine,bornes et quantités entières ;aucun discriminant requis.

Exercice 1 — Du tableau au signe

f(x)=(x-1)(x-5)

x	0	1	2	3	4	5	6
f(x)	5	0	−3	−4	−3	0	5

1. Lire racines et images négatives proposées. 2. Résoudre

f<0

pour tous les réels ; pourquoi le tableau ne suffit-il pas ?

Corrigé détaillé

1. Racines 1 et 5 ; images négatives en 2,3,4. 2. Deux facteurs négatifs avant 1, positifs après 5 : produit positif. Entre 1 et 5, signes opposés, donc

]1;5[

. Le tableau ne contrôle que sept valeurs, la factorisation tous les réels.

Exercice 2 — Coefficient négatif

g(x)=-2(x+3)(x-2)

. 1. Racines et

g(0)

? 2. Donner tableau de signes et résoudre

g\ge0

Corrigé détaillé

1. Racines−3 et 2 ;

g(0)=12

. 2. Le coefficient−2 inverse le signe du produit.

x	$]-\infty; -3[$	−3	$]-3;2[$	2	$]2; +\infty[$
g	−	0	+	0	−

Solution

[-3;2]

, zéro autorisé.

Exercice 3 — Retrouver le coefficient

p(x)=a(x-2)(x-6)

p(0)=24

. 1. Trouver a et p(4). 2. Résoudre

p\le0

; pourquoi les racines seules ne suffisent-elles pas ?

Corrigé détaillé

1. 24=12 a, donc a=2 ; p(4)=−8. 2. Coefficient positif, produit négatif entre racines :

[2;6]

. Un coefficient négatif aurait inversé les signes : il fallait le déterminer.

Exercice 4 — Fausse identité

Une élève écrit

x^2-9=(x-3)^2

et affirme la positivité. 1. Développer et réfuter en 0. 2. Factoriser correctement et résoudre

x^2-9\ge0

Corrigé détaillé

1. Le carré vaut

x^2-6x+9

. En 0, expressions−9 et 9, différentes. 2.

x^2-9=(x-3)(x+3)

; positif à l’extérieur, racines incluses :

]-\infty; -3]\cup[3; +\infty[

Exercice 5 — Comparer par une différence

Sur[0;6],

A=x^2+4

B=6x-1

. 1. Vérifier

A-B=(x-1)(x-5)

. 2. Quand A≤B et quand égalité ?

Corrigé détaillé

1. Les deux formes donnent

x^2-6x+5

. 2. Différence non positive sur[1;5]. Égalité en 1 et 5, valeurs communes 5 et 29 ; cet intervalle respecte le domaine.

Exercice 6 — Racine double

h(x)=3(x-4)^2

. 1. Racines et signe. 2. Résoudre h≤0 et h>0 ; le signe change-t-il à la racine ?

Corrigé détaillé

1. Racine 4, double ; carré non négatif, h≥0. 2. h≤0 donne{4}; h>0 donne

]-\infty;4[\cup]4; +\infty[

. Le signe ne change pas, positif des deux côtés.

Exercice 7 — Bornes exactes irrationnelles

r(x)=(x-3)^2-5

. 1. Racines exactes puis au centième. 2. Résoudre r≤0 avec bornes exactes.

Corrigé détaillé

x=3\pm\sqrt5

, environ 0,76 et 5,24. 2.

(x-3)^2\le5

donne

-\sqrt5\le x-3\le\sqrt5

, soit

[3-\sqrt5;3+\sqrt5]

. Ne pas remplacer les bornes exactes par les arrondis.

Exercice 8 — Choisir un modèle

M est nul en 1 et 4 et M(2)=6. Modèles

M_1=2(x-1)(x-4)

M_2=-3(x-1)(x-4)

M_3=-3(x+1)(x-4)

. 1. Choisir et rejeter. 2. Résoudre M>0 sur[0;5].

Corrigé détaillé

1. M₁(2)=−4, rejet ; M₂(2)=6 et bonnes racines ; M₃(1)=18, rejet. 2. M₂ positif entre racines grâce au coefficient négatif :

]1;4[

Exercice 9 — Production entière

B(n)=-5(n-10)(n-30)

euros, n entier 0 à 40. 1. Équilibre et productions bénéficiaires. 2. Interpréter B(20), B(35).

Corrigé détaillé

1. Équilibre 10 et 30 ; positif entre, soit entiers 11 à 29. 2. B(20)=500 €, bénéfice ; B(35)=−625 €, perte 625 €. Le bénéfice n’est pas la recette.

Exercice 10 — Synthèse bénéfice minimal

B(x)=-2(x-2)(x-8)

euros, x∈[0;10]kg. 1. Sans perte ? 2. Vérifier

B=18-2(x-5)^2

et chercher au moins 10 €.

Corrigé détaillé

1. Coefficient négatif, B≥0 sur[2;8]kg. 2. Les formes donnent

-2x^2+20x-32

. L’objectif donne

(x-5)^2\le4

, soit[3;7]kg. Aux bornes 10 €, intervalle inclus dans celui sans perte.

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