Première non-spécialité

Modélisation quadratique : sommet et maximum — 10 exercices corrigés

Dix problèmes progressifs : données, calculs inverses, comparaison de modèles, critique et synthèse. Les formes utiles sont fournies ; aucune dérivation ni méthode du discriminant n’est requise.

L'essentiel à retenir

Exploiter la forme centrée fournie grâce à la positivité du carré.
Vérifier domaine et contraintes entières avant de retenir le sommet.
La transformation générale en forme canonique n’est pas une technique exigée ici.

Exercice 1 — Projectile : prouver un maximum

h(t)=20-5(t-2)^2

m, t∈[0;4]s. 1. Tableau aux instants 0 à 4. 2. Prouver le maximum pour tous les instants.

Hauteur 20−5(t−2)² sur [0;4], sommet (2;20)

Corrigé détaillé

t(s)	0	1	2	3	4
h(m)	0	15	20	15	0

2. Carré≥0, donc h≤20, égalité seulement en 2 s, autorisé. Maximum 20 m ; l’inégalité dépasse une simple lecture du tableau.

Exercice 2 — Jardin contre un mur

40 mde clôture pour trois côtés ; deux mesurent x∈[0;20]m. 1. Troisième côté et aire. 2. Vérifier

A=200-2(x-10)^2

et optimiser.

Corrigé détaillé

1. Troisième côté 40−2 x, aire

40x-2x^2

m², non dégénéré si 0<x<20. 2. Développer redonne l’aire. Carré minimal en 10 : dimensions 10 × 20 m, aire maximale 200 m².

Exercice 3 — Sommet hors domaine

R(x)=100-(x-5)^2

pourcent, x∈[0;3]. 1. Pourquoi 100 % inaccessible ? 2. Maximum accessible par distances à 5.

Corrigé détaillé

1. 100 exige x=5, hors domaine. 2. Distance à 5 minimale 2 en 3 ; Rmax=100−4=96 %. En 0,75 %. Le domaine change l’optimum.

Exercice 4 — Paramètres par symétrie

H(t)=a(t-3)^2+k

t(s)	1	3	5
H(m)	6	14	6

1. Retrouver a, k et vérifier. 2. H(2), H(4), maximum sur[1;5].

Corrigé détaillé

1. En 3, k=14 ; en 1,6=4 a+14, donc a=−2. Les trois valeurs sont reproduites. 2. H(2)=H(4)=12 m, symétrie ; maximum 14 m, en 3 s puisque terme carré non positif.

Exercice 5 — Hauteur et durée

h(t)=12-3(t-2)^2

m, t∈[0;4]s. 1. Instants exactement 9 m. 2. Intervalle au moins 9 m et durée.

Corrigé détaillé

1. Carré=1, donc t=1 ou 3 s. 2. Carré≤1, soit 1≤t≤3, durée 2 s, bornes incluses.

Exercice 6 — Optimum entier

P(n)=50-2(n-3{,}5)^2

kg/h, n entier 0 à 7. 1. Optimum réel inaccessible. 2. Tous les optima entiers et preuve.

Corrigé détaillé

1. 50 kg/hen 3,5, non entier. 2. 3 et 4 à distance 0,5 donnent 49,5 kg/h. Autres à distance≥1,5 donnent au plus 45,5 kg/h ; donc les deux réglages sont optimaux.

Exercice 7 — Comparer procédés

Sur[0;7],

P_A=36-(x-4)^2

P_B=32-(x-2)^2

kg/h. 1. Maxima. 2. Différence et comparaison à réglage identique.

Corrigé détaillé

1. 36 en 4 et 32 en 2, réglages autorisés ; productions non négatives. 2. Différence

4-(x-4)^2+(x-2)^2=4x-8

. A≥Bsur[2;7], égalité 32 kg/hen 2.

Exercice 8 — Choisir un coût minimal

Minimum 80 €en 4, sur[0;8]. Propositions

C_1=80+3(x-4)^2

C_2=80-3(x-4)^2

C_3=80+3(x+4)^2

. 1. Choisir. 2. Budget≤92 €.

Corrigé détaillé

1. C₁≥80 égalité en 4, convient. C₂ a un maximum, C₃(4)=272 €, rejeter. 2. Carré≤4 donne[2;6], coût 92 €aux bornes.

Exercice 9 — Erreur : perte au carré

Q(x)=100-4(x-5)^2

sur[0;10]. 1. Maximum et pertesen 4,5 et 6. 2. Doubler l’écart double-t-il la perte ? Score≥96 ?

Corrigé détaillé

1. Maximum 100 en 5 ; pertes 1 pointen 4,5 et 4 points en 6, scores 99 et 96. 2. Doubler l’écart 0,5 à 1 quadruple la perte. Objectif carré≤1 : [4;6].

Exercice 10 — Synthèse : recette et capacité

Demande

N(p)=120-4p

, p∈[10;25]€, recette pN(p),64 places, toute demande satisfaite. 1. Vérifier

R=900-4(p-15)^2

et maximum. 2. Capacité et optimum réalisable ? 3. Recette≥884 €avec capacité.

Corrigé détaillé

1. Développement 120 p−4 p², maximum 900 €en 15 €. 2. 120−4 p≤64 donnep≥14. En 15,60 billets, possible. 3. Carré≤4 donne[13;17], intersection avec la contrainte de capacité [14;25] : [14;17]€. En 17,52 billets donnent 884 €.

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