Exercice 1 — Deux composants différents
Un appareil comporte deux composants. A est l'événement « le premier fonctionne », avec P(A) = 0,9 ; B signifie « le second fonctionne », avec P(B) = 0,8. A et B sont indépendants.
1. Donner les probabilités des quatre combinaisons de fonctionnement dans un tableau complet.
2. L'appareil fonctionne si au moins un composant fonctionne. Calculer sa probabilité de fonctionnement.
Corrigé détaillé
1. On utilise P(non A) = 0,1 et P(non B) = 0,2, puis on multiplie grâce à l'indépendance.
| Situation | A et B | A et non B | non A et B | non A et non B |
|---|
| Probabilité | 0,72 | 0,18 | 0,08 | 0,02 |
Exercice 2 — Exactement deux réponses positives
Trois clients répondent indépendamment à une offre. Chacun l'accepte avec la probabilité 0,6. On note S une acceptation et E un refus.
1. Énumérer les chemins donnant exactement deux acceptations et calculer leur probabilité totale.
2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux acceptations.
Corrigé détaillé
1. Les chemins sont SSE, SES et ESS. Chacun a pour probabilité 0,6 × 0,6 × 0,4 = 0,144. Ils sont incompatibles, donc la probabilité de deux acceptations vaut 3 × 0,144 = 0,432, soit 43,2 %.
2. Il faut ajouter le chemin SSS, de probabilité 0,6³ = 0,216. Ainsi P(au moins deux) = 0,432 + 0,216 = 0,648, soit 64,8 %. L'ordre des acceptations n'importe plus une fois les chemins regroupés.
Exercice 3 — Quatre contrôles de Bernoulli
Quatre dossiers sont contrôlés indépendamment. Chaque dossier présente une anomalie avec la probabilité 0,25. X désigne le nombre de dossiers présentant une anomalie.
1. Établir la loi complète de X en indiquant le nombre de chemins pour chaque valeur.
2. Calculer P(X ≥ 2) et interpréter.
Corrigé détaillé
1. Un chemin avec k anomalies a pour probabilité 0,25^k × 0,75^(4−k). En comptant les positions des anomalies, on obtient :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| Nombre de chemins | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
| P(X = k) | 81/256 | 108/256 | 54/256 | 12/256 | 1/256 |
Exercice 4 — Vérifier l'indépendance par un tableau
On choisit au hasard une personne parmi 200 clients. A signifie « possède une carte de fidélité » et B « utilise l'application ».
| B | non B | Total |
|---|
| A | 60 | 40 | 100 |
| non A | 60 | 40 | 100 |
| Total | 120 | 80 | 200 |
Corrigé détaillé
1. P(A) = 100/200 = 0,5, P(B) = 120/200 = 0,6 et P(A ∩ B) = 60/200 = 0,3. Comme 0,5 × 0,6 = 0,3, A et B sont indépendants pour cette population.
2. « Exactement un service » réunit les cas A et non B, ou non A et B. Leur effectif est 40 + 60 = 100, donc la probabilité vaut 100/200 = 0,5, soit 50 %. Le cas des clients utilisant les deux services est exclu.
Exercice 5 — Pourquoi la remise est décisive
Une boîte contient 3 jetons rouges et 2 bleus. On effectue deux tirages. A signifie « le premier jeton est rouge » et B « le second est rouge ».
1. Avec remise et mélange après le premier tirage, calculer P(A ∩ B).
2. Sans remise, calculer P(B sachant A), P(A ∩ B) et vérifier que A et B ne sont pas indépendants, sachant que P(B) = 3/5.
Corrigé détaillé
1. Avec remise, la composition de la boîte est rétablie. Les tirages sont indépendants et P(A ∩ B) = (3/5) × (3/5) = 9/25 = 0,36.
2. Sans remise, après un rouge il reste 2 rouges parmi 4 jetons, donc P(B sachant A) = 2/4 = 1/2. Alors P(A ∩ B) = (3/5) × (1/2) = 3/10 = 0,30. Or P(A)P(B) = 9/25 = 0,36. Les deux valeurs diffèrent : les événements ne sont pas indépendants.
Exercice 6 — Deux systèmes d'alarme
En présence d'une intrusion, deux alarmes détectent indépendamment celle-ci. La première détecte avec probabilité 0,95 et la seconde avec probabilité 0,9.
1. Calculer la probabilité qu'aucune alarme ne détecte l'intrusion, puis qu'au moins une la détecte.
2. Calculer la probabilité qu'exactement une alarme détecte l'intrusion.
Corrigé détaillé
1. Les probabilités d'échec sont 0,05 et 0,1. La probabilité d'un double échec vaut 0,05 × 0,1 = 0,005. Par complément, au moins une alarme détecte avec probabilité 1 − 0,005 = 0,995, soit 99,5 %.
2. Les deux cas possibles sont « première seule » et « seconde seule ». Leur probabilité totale est 0,95 × 0,1 + 0,05 × 0,9 = 0,095 + 0,045 = 0,14, soit 14 %. Ces deux cas sont incompatibles.
Exercice 7 — Première réussite à la troisième tentative
Un candidat dispose de trois tentatives indépendantes pour réussir un test. La probabilité de réussite à chaque tentative vaut 0,3. Les trois résultats peuvent être envisagés même s'il arrêterait réellement après sa première réussite.
1. Calculer la probabilité que sa première réussite ait lieu à la troisième tentative.
2. Calculer la probabilité qu'il réussisse au moins une fois parmi les trois tentatives.
Corrigé détaillé
1. Il faut exactement le chemin échec, échec, réussite. Sa probabilité vaut 0,7 × 0,7 × 0,3 = 0,147, soit 14,7 %. Aucun facteur de dénombrement n'est nécessaire : l'ordre est imposé.
2. Le contraire est le chemin de trois échecs, de probabilité 0,7³ = 0,343. La probabilité d'au moins une réussite vaut donc 1 − 0,343 = 0,657, soit 65,7 %.
Exercice 8 — Ordre imposé ou nombre de succès
Une pièce déséquilibrée donne pile avec probabilité 0,4. On la lance quatre fois indépendamment.
1. Calculer la probabilité de la séquence pile, face, pile, face.
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux piles et expliquer la différence avec la question 1.
Corrigé détaillé
1. La séquence imposée a pour probabilité 0,4 × 0,6 × 0,4 × 0,6 = 0,0576, soit 5,76 %.
2. Les positions des deux piles sont 12, 13, 14, 23, 24 ou 34 : il existe six chemins. Chacun a la probabilité 0,4² × 0,6² = 0,0576. La probabilité totale vaut donc 6 × 0,0576 = 0,3456, soit 34,56 %. La deuxième question accepte six ordres, contre un seul dans la première.
Exercice 9 — Incompatibles ne signifie pas indépendants
On lance une fois un dé équilibré. A est l'événement « obtenir 1 » et B « obtenir 2 ».
1. Montrer que A et B sont incompatibles mais non indépendants.
2. On lance maintenant le dé deux fois indépendamment. C signifie « obtenir 1 au premier lancer » et D « obtenir 2 au second ». Calculer P(C ∩ D) et comparer avec la question 1.
Corrigé détaillé
1. Un seul lancer ne peut donner simultanément 1 et 2, donc P(A ∩ B) = 0 : les événements sont incompatibles. Pourtant P(A)P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36, différent de 0. Ils ne sont pas indépendants.
2. Les événements concernent deux lancers indépendants. Ainsi P(C ∩ D) = (1/6) × (1/6) = 1/36, soit environ 2,78 %. Cette fois, les deux résultats peuvent se produire ensemble : la séquence est (1 ; 2).
Exercice 10 — Un modèle confronté aux observations
Deux services supposés indépendants sont disponibles chacun avec probabilité 0,8. Sur 500 instants de contrôle, les observations sont les suivantes.
| Service B disponible | B indisponible | Total |
|---|
| Service A disponible | 350 | 50 | 400 |
| A indisponible | 50 | 50 | 100 |
| Total | 400 | 100 | 500 |
Corrigé détaillé
1. Le modèle prévoit P(A ∩ B) = 0,8 × 0,8 = 0,64. L'effectif théorique associé est 500 × 0,64 = 320 contrôles ; ce n'est pas un effectif garanti.
2. Les fréquences marginales valent chacune 400/500 = 0,8. La fréquence conjointe est 350/500 = 0,70, différente de 0,64. Les fréquences ne vérifient donc pas exactement l'indépendance ; on observe 30 disponibilités simultanées de plus que prévu. Un échantillon peut fluctuer : cet écart invite à examiner le modèle, sans constituer à lui seul une preuve de dépendance.