Terminale maths expertes

Graphes probabilistes, transitions et suites de matrices — 20 exercices

Ces 20 exercices étudient des graphes probabilistes finis et leurs matrices de transition. Convention commune : les distributions sont des vecteurs-lignes,

p_{n+1}=p_nP

, et

P_{ij}

est la probabilité de passer de l'état

i

à l'état

j

. Chaque matrice est entièrement donnée ou reconstruite à partir de probabilités explicites. Les probabilités sont supposées constantes dans le temps sauf indication contraire.

L'essentiel à retenir

Une matrice de transition a des coefficients positifs ou nuls et chaque ligne de somme $1$ . Une distribution stationnaire $\pi$ vérifie $\pi P=\pi$ , avec des composantes positives ou nulles de somme $1$ . Son existence ou son unicité ne suffit pas à prouver que toutes les distributions convergent vers elle : un comportement périodique peut empêcher la convergence. Pour établir une limite, on utilisera ici une récurrence explicite ou une formule de puissance justifiée. Un état absorbant se conserve avec probabilité $1$ .

Exercice 1 — Deux services et une convergence démontrée

Dans l'ordre $A,B$ , on donne $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$ et $p_0=(1;0)$ . Calculer $p_1,p_2$ et une distribution stationnaire.
Prouver que $p_n$ converge et préciser à partir de quel rang sa première composante diffère de $0{,}6$ de moins de $0{,}01$ .

Corrigé détaillé

p_1=(0{,}8;0{,}2)

p_2=(0{,}8\times0{,}8+0{,}2\times0{,}3,\ 0{,}8\times0{,}2+0{,}2\times0{,}7)=(0{,}7;0{,}3)

. Si

\pi=(a,1-a)

, alors

a=0{,}8a+0{,}3(1-a)

, soit

0{,}5a=0{,}3

. Donc

\pi=(0{,}6;0{,}4)

. 2. En posant

p_n=(a_n,1-a_n)

, on obtient

a_{n+1}=0{,}5a_n+0{,}3

, donc

a_n=0{,}6+0{,}4(0{,}5)^n

. La convergence vers

\pi

est démontrée. On veut

0{,}4/2^n<0{,}01

, soit

2^n>40

. Le premier rang est

n=6

, car

2^5=32

2^6=64

Exercice 2 — Une distribution stationnaire sans convergence générale

On donne $P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Déterminer toutes les distributions stationnaires et calculer $P^2$ .
Étudier $p_n$ lorsque $p_0=(1;0)$ , puis lorsque $p_0=(1/2;1/2)$ . Que montre cet exemple ?

Corrigé détaillé

1. Pour

(a,1-a)

, le produit par

P

vaut

(1-a,a)

. La stationnarité impose

a=1-a

, donc l'unique distribution stationnaire est

(1/2;1/2)

. Par ailleurs,

P^2=I_2

. 2. Avec

p_0=(1;0)

, les distributions alternent entre

(1;0)

aux rangs pairs et

(0;1)

aux rangs impairs : elles ne convergent pas. Avec

p_0=(1/2;1/2)

, elles restent constantes. L'unicité d'une distribution stationnaire n'implique donc pas la convergence depuis toute distribution initiale.

Exercice 3 — Un abonnement définitivement résilié

Un client est actif $A$ ou définitivement parti $D$ . Chaque mois, un client actif reste avec probabilité $0{,}9$ . Donner $P$ dans l'ordre $A,D$ et calculer la probabilité d'être encore actif après trois mois si le client est actif au départ.
Déterminer les distributions stationnaires et la limite depuis une distribution initiale $(a,1-a)$ .

Corrigé détaillé

1. L'état

D

est absorbant et

P=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0&1\end{pmatrix}

. Pour être actif après trois mois, il faut rester actif à chaque transition : la probabilité vaut

(0{,}9)^3=0{,}729

. La distribution est

(0{,}729;0{,}271)

. 2. La stationnarité impose

x=0{,}9x

, donc

x=0

: seule

(0;1)

est stationnaire. Après

n

mois, la distribution vaut

(a(0{,}9)^n,1-a(0{,}9)^n)

. Elle converge vers

(0;1)

, ce qui signifie une résiliation à terme avec probabilité

1

dans ce modèle.

Exercice 4 — Un état transitoire et deux issues absorbantes

Dans l'ordre $T,S,E$ , on donne $P=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $p_0=(1;0;0)$ . Calculer $p_1,p_2$ et la probabilité d'être encore en $T$ après $n$ étapes.
Déterminer les probabilités limites d'absorption en $S$ et $E$ . La distribution stationnaire est-elle unique ?

Corrigé détaillé

p_1=(0{,}5;0{,}3;0{,}2)

p_2=(0{,}25;0{,}45;0{,}30)

. Comme aucun autre état ne revient vers

T

, sa probabilité est multipliée par

0{,}5

à chaque étape : elle vaut

2^{-n}

. 2. La probabilité d'être en

S

au rang

n

vaut

0{,}3\sum_{k=0}^{n-1}2^{-k}=0{,}6(1-2^{-n})

, et celle d'être en

E

vaut

0{,}4(1-2^{-n})

. La limite est

(0;0{,}6;0{,}4)

, soit les composantes

0

0{,}6

0{,}4

. Toutes les distributions

(0,s,1-s)

, avec

0\leq s\leq1

, sont stationnaires : il n'y a pas unicité.

Exercice 5 — Deux groupes qui ne communiquent pas

Dans l'ordre $A,B,C$ , on donne $P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0{,}6&0{,}4\\0&0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}$ . Déterminer toutes les distributions stationnaires.
Pour $p_0=(0{,}4;0{,}6;0)$ , démontrer la convergence et donner la limite.

Corrigé détaillé

1. La masse placée en

A

ne change pas. Dans le groupe

B,C

, l'équilibre impose

0{,}4b=0{,}2c

, donc

c=2b

. Avec une masse

t

A

, on obtient

\pi_t=(t,(1-t)/3;2(1-t)/3)

pour

0\leq t\leq1

. 2. La masse totale en

B,C

reste

0{,}6

. Si

b_n

est la probabilité de

B

, alors

b_{n+1}=0{,}6b_n+0{,}2(0{,}6-b_n)=0{,}4b_n+0{,}12

. Donc

b_n=0{,}2+0{,}4(0{,}4)^n

, puis

c_n=0{,}4-0{,}4(0{,}4)^n

. La limite est

(0{,}4;0{,}2;0{,}4)

; elle dépend de la masse initiale en

A

Exercice 6 — Une moyenne progressive à trois états

On pose $J=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ et $P=\frac12I_3+\frac12J$ . Écrire $P$ explicitement et vérifier que $(1/3;1/3;1/3)$ est stationnaire.
En utilisant $J^2=J$ , prouver $P^n=2^{-n}I_3+(1-2^{-n})J$ et en déduire la limite depuis toute distribution initiale.

Corrigé détaillé

P=\begin{pmatrix}2/3&1/6&1/6\\1/6&2/3&1/6\\1/6&1/6&2/3\end{pmatrix}

. Chaque colonne a somme

1

, donc la multiplication de la ligne uniforme par

P

redonne

(1/3;1/3;1/3)

. Les lignes ont aussi somme

1

, comme requis. 2. La formule vaut pour

n=0

. Sa multiplication par

\frac12I_3+\frac12J

donne un coefficient

2^{-(n+1)}

devant

I_3

1-2^{-(n+1)}

devant

J

, grâce à

J^2=J

. Pour toute distribution

p_0

p_0J=(1/3;1/3;1/3)

; ainsi

p_n

converge vers cette distribution.

Exercice 7 — Retrouver une probabilité de transition

On sait que $P=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\b&1-b\end{pmatrix}$ admet la distribution stationnaire $(0{,}7;0{,}3)$ . Déterminer $b$ et vérifier qu'il s'agit d'une probabilité.
Pour une distribution initiale $(a_0;1-a_0)$ , établir une formule explicite de $a_n$ et conclure.

Corrigé détaillé

1. La première composante de l'égalité stationnaire donne

0{,}7=0{,}7\times0{,}9+0{,}3b

. Donc

0{,}3b=0{,}07

b=7/30

. Ce nombre est dans

[0;1]

; la seconde ligne est

(7/30;23/30)

. 2.

a_{n+1}=(9/10)a_n+(7/30)(1-a_n)=\frac23a_n+\frac7{30}

. Le point fixe est

7/10

. Donc

a_n=\frac7{10}+(a_0-\frac7{10})(\frac23)^n

. Le facteur géométrique tend vers zéro : toute distribution initiale converge vers

(0{,}7;0{,}3)

Exercice 8 — Choisir le modèle conforme à un énoncé

Dans l'ordre $A,B$ , $80\%$ des clients de $A$ restent chez $A$ , tandis que $30\%$ des clients de $B$ passent chez $A$ . Choisir entre $P_1=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$ et $P_2=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ avec la convention des vecteurs-lignes.
Pour $p_0=(0{,}4;0{,}6)$ , calculer la part de $A$ après une étape. Quelle proportion des clients alors chez $A$ venait de $B$ ?

Corrigé détaillé

1. Il faut

P_1

: la première ligne décrit les départs de

A

et la seconde ceux de

B

. Les lignes de

P_1

somment à

1

. Celles de

P_2

somment à

1{,}1

0{,}9

P_2

n'est pas une matrice de transition avec cette convention. 2. La part de

A

devient

0{,}4\times0{,}8+0{,}6\times0{,}3=0{,}50

. La probabilité conjointe « venir de

B

et arriver en

A

» vaut

0{,}18

. La proportion conditionnelle cherchée est donc

0{,}18/0{,}50=0{,}36

, soit

36\%

Exercice 9 — Des vélos entre deux stations

Chaque jour, un vélo en station $A$ finit en $B$ avec probabilité $0{,}25$ ; un vélo en $B$ finit en $A$ avec probabilité $0{,}5$ . Écrire la matrice et calculer les effectifs moyens après une journée pour $80$ vélos en $A$ et $40$ en $B$ .
Pour $120$ vélos initialement tous en $A$ , déterminer les effectifs moyens au bout de $n$ jours. Peut-on affirmer que les effectifs réels seront exactement égaux aux moyennes ?

Corrigé détaillé

1. Dans l'ordre

A,B

P=\begin{pmatrix}0{,}75&0{,}25\\0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}

. La ligne des effectifs moyens devient

(80;40)P=(80;40)

. On calcule

80\times0{,}75+40\times0{,}5=80

80\times0{,}25+40\times0{,}5=40

. 2. La proportion moyenne

a_n

vérifie

a_{n+1}=0{,}25a_n+0{,}5

, donc

a_n=\frac23+\frac13(0{,}25)^n

. Les effectifs moyens sont

80+40(0{,}25)^n

40-40(0{,}25)^n

. Ce sont des espérances : les effectifs observés restent aléatoires et ne sont pas nécessairement égaux à ces nombres.

Exercice 10 — Prévision météorologique sur deux jours

Les états sont soleil $S$ , nuages $N$ , pluie $R$ , dans cet ordre, avec $P=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}3&0{,}1\\0{,}2&0{,}5&0{,}3\\0{,}1&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}$ . Partant de $S$ , calculer la probabilité de pluie deux jours plus tard.
Sachant qu'il pleut deux jours plus tard, quelle est la probabilité que le jour intermédiaire ait été nuageux ? Comparer avec $P_{NR}$ .

Corrigé détaillé

1. On additionne les trois états intermédiaires :

(P^2)_{SR}=0{,}6\times0{,}1+0{,}3\times0{,}3+0{,}1\times0{,}5=0{,}20

. La probabilité vaut donc

20\%

. 2. La probabilité du trajet

S\to N\to R

vaut

0{,}3\times0{,}3=0{,}09

. La probabilité conditionnelle cherchée vaut

0{,}09/0{,}20=0{,}45

. Elle diffère de

P_{NR}=0{,}3

, qui concerne la pluie du lendemain lorsqu'on sait déjà que le jour présent est nuageux.

Exercice 11 — Être arrivé ou avoir déjà visité

Dans l'ordre $A,B,C$ , on donne $P=\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\1&0&0\end{pmatrix}$ et l'état initial $A$ . Calculer la probabilité d'être en $C$ après exactement deux transitions.
Calculer la probabilité d'avoir visité $C$ au moins une fois au cours des deux premières transitions. Pourquoi est-elle différente ?

Corrigé détaillé

1. Les possibilités passant par

B

donnent

(1/2)(1/2)=1/4

. Un passage par

C

au premier pas impose ensuite

A

, et

A\to A

est impossible. Donc

(P^2)_{AC}=1/4

. 2. On atteint

C

au premier pas avec probabilité

1/2

. Sinon, on va en

B

, puis en

C

, avec probabilité

1/4

. Ces événements sont disjoints : le total vaut

3/4

. Une visite au premier pas n'impose pas d'être encore en

C

au second, puisque

C\to A

est certain.

Exercice 12 — Une machine réparée après une panne

Les états sont fonctionnement $F$ et panne $P$ . Une machine fonctionnelle tombe en panne le lendemain avec probabilité $0{,}1$ ; une machine en panne est réparée pour le lendemain avec probabilité $0{,}6$ . Écrire la matrice et déterminer la distribution stationnaire.
La machine fonctionne initialement. Déterminer la probabilité $q_n$ de panne et la probabilité de n'avoir subi aucune panne pendant les trois premières transitions.

Corrigé détaillé

1. La matrice est

M=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0{,}6&0{,}4\end{pmatrix}

. Si

q

est la probabilité stationnaire de panne, alors

q=0{,}1(1-q)+0{,}4q

, soit

0{,}7q=0{,}1

. La distribution stationnaire est donc

(6/7;1/7)

. 2.

q_{n+1}=0{,}1+0{,}3q_n

q_0=0

, donc

q_n=\frac17(1-(0{,}3)^n)

. En revanche, ne jamais tomber en panne pendant trois transitions exige trois maintiens successifs en fonctionnement : la probabilité vaut

(0{,}9)^3=0{,}729

. L'état final et l'historique sont deux événements différents.

Exercice 13 — Une rotation périodique sur trois états

On donne $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ . Déterminer la distribution stationnaire et calculer $P^3$ .
Depuis $p_0=(1;0;0)$ , étudier la convergence de $p_n$ et celle de la moyenne $\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}p_n$ .

Corrigé détaillé

1. Pour

(a,b,c)

, la multiplication donne

(c,a,b)

. La stationnarité impose

a=b=c

, puis

a+b+c=1

donne

(1/3;1/3;1/3)

. Trois transitions ramènent chaque état à lui-même, donc

P^3=I_3

. 2. Les distributions se répètent par blocs

(1;0;0)

(0;1;0)

(0;0;1)

: elles ne convergent pas. Sur

3k

termes, la moyenne vaut exactement

(1/3;1/3;1/3)

. Pour un nombre quelconque de termes, il reste au plus deux termes supplémentaires, dont la contribution divisée par

N

tend vers zéro. Les moyennes convergent donc vers la distribution uniforme.

Exercice 14 — Équilibre ne signifie pas absence de circulation

On donne $P=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\0&1/2&1/2\\1/2&0&1/2\end{pmatrix}$ . Déterminer sa distribution stationnaire en résolvant les équations.
À l'équilibre, calculer les probabilités des transitions $A\to B$ et $B\to A$ . Comment la masse de $A$ peut-elle pourtant rester constante ?

Corrigé détaillé

1. Pour

(a,b,c)

, la première équation donne

a=(a+c)/2

, donc

a=c

. La deuxième donne

b=(a+b)/2

, donc

b=a

. Avec la somme

1

, on obtient l'unique distribution

(1/3;1/3;1/3)

. 2. Le flux

A\to B

vaut

(1/3)(1/2)=1/6

, tandis que

B\to A

vaut

0

. Mais le flux

C\to A

vaut aussi

1/6

et compense la sortie de

A

. La stationnarité équilibre les entrées et sorties totales de chaque état, sans imposer un équilibre séparé entre chaque paire.

Exercice 15 — Marche aléatoire sur un chemin

Sur le graphe $A-B-C$ , un marcheur choisit uniformément un voisin à chaque étape. Écrire la matrice de transition et déterminer la distribution stationnaire.
Depuis $A$ , calculer les distributions aux rangs pairs et impairs et discuter la convergence.

Corrigé détaillé

1. Dans l'ordre

A,B,C

P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1/2&0&1/2\\0&1&0\end{pmatrix}

. Les équations stationnaires donnent

a=b/2

c=b/2

a+b+c=1

. Donc

\pi=(1/4;1/2;1/4)

, proportionnelle aux degrés

1;2;1

. 2.

p_1=(0;1;0)

, puis

p_2=(1/2;0;1/2)

. Depuis cette dernière distribution, on revient certainement en

B

. Ainsi, pour

k\geq1

p_{2k}=(1/2;0;1/2)

et, pour

k\geq0

p_{2k+1}=(0;1;0)

. Les deux sous-suites ont des limites différentes : il n'y a pas convergence malgré l'unicité de

\pi

Exercice 16 — L'ordre de deux politiques commerciales

Deux politiques agissent sur les états $A,B$ avec $P=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2\\0{,}4&0{,}6\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}5\\0{,}1&0{,}9\end{pmatrix}$ . Calculer $PQ$ et $QP$ .
Depuis $p_0=(1;0)$ , comparer les distributions après les deux politiques selon leur ordre. Si le cycle « $P$ puis $Q$ » se répète, déterminer la distribution stationnaire observée à la fin de chaque cycle.

Corrigé détaillé

PQ=\begin{pmatrix}0{,}42&0{,}58\\0{,}26&0{,}74\end{pmatrix}

QP=\begin{pmatrix}0{,}60&0{,}40\\0{,}44&0{,}56\end{pmatrix}

. Par exemple,

(PQ)_{11}=0{,}8\times0{,}5+0{,}2\times0{,}1=0{,}42

. Les matrices ne commutent pas. 2. L'ordre

P

puis

Q

donne

(0{,}42;0{,}58)

, contre

(0{,}60;0{,}40)

pour l'ordre inverse. Aux fins de cycle, la transition est

PQ

. Si

a

est sa première composante stationnaire,

a=0{,}42a+0{,}26(1-a)

, donc

0{,}84a=0{,}26

a=13/42

. La distribution est

(13/42;29/42)

Exercice 17 — Des transitions qui changent avec la saison

Une population suit en été $P=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}$ puis en hiver $Q=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}4\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}$ . Pour $p_0=(1;0)$ avant l'été, calculer la distribution après l'été puis après l'hiver. Peut-on utiliser $P^2$ ?
Construire la matrice annuelle, d'un début d'été au suivant, et déterminer sa distribution stationnaire.

Corrigé détaillé

1. Après l'été,

p_1=(0{,}9;0{,}1)

. Après l'hiver,

p_2=p_1Q=(0{,}57;0{,}43)

. Utiliser

P^2

donnerait

(0{,}83;0{,}17)

, résultat erroné : la transition du second semestre est

Q

, pas

P

. 2. La matrice annuelle est

R=PQ=\begin{pmatrix}0{,}57&0{,}43\\0{,}36&0{,}64\end{pmatrix}

. L'équilibre annuel impose

0{,}43a=0{,}36(1-a)

, soit

a=36/79

. La distribution

(36/79;43/79)

est stationnaire à cette phase de l'année ; elle ne reste pas nécessairement identique entre l'été et l'hiver.

Exercice 18 — Compléter une matrice grâce à l'équilibre

On considère $P=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\x&1/2&1/2-x\\1/4&0&3/4\end{pmatrix}$ . Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $P$ est une matrice de transition.
On souhaite que $(1/3;1/3;1/3)$ soit stationnaire. Déterminer $x$ et vérifier toutes les composantes de l'égalité.

Corrigé détaillé

1. Chaque ligne somme déjà à

1

. Il reste à imposer la positivité :

x\geq0

1/2-x\geq0

. Ainsi les valeurs admissibles sont exactement

0\leq x\leq1/2

. 2. Pour que la ligne uniforme soit stationnaire, les colonnes doivent sommer à

1

. La première impose

1/2+x+1/4=1

, donc

x=1/4

. La deuxième somme vaut

1/2+1/2+0=1

et la troisième vaut

0+1/4+3/4=1

. La valeur est admissible et les trois composantes du produit valent bien

1/3

Exercice 19 — Une convergence avec oscillations

Pour $P=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}8\\0{,}6&0{,}4\end{pmatrix}$ et $p_0=(1;0)$ , déterminer la distribution stationnaire et une formule explicite de la première composante $a_n$ .
La suite $(a_n)$ est-elle monotone ? Déterminer le premier rang à partir duquel $|a_n-3/7|<0{,}001$ pour tous les rangs suivants.

Corrigé détaillé

a_{n+1}=0{,}2a_n+0{,}6(1-a_n)=0{,}6-0{,}4a_n

. Le point fixe vaut

a=0{,}6/1{,}4=3/7

. Ainsi

a_n=3/7+(4/7)(-0{,}4)^n

, et la distribution stationnaire est

(3/7;4/7)

. 2. Le facteur

(-0{,}4)^n

change de signe : la suite oscille autour de

3/7

et n'est pas monotone. L'erreur absolue vaut

(4/7)(0{,}4)^n

et décroît. Au rang

6

, elle vaut environ

0{,}002341

; au rang

7

, environ

0{,}000936

. Le premier rang demandé est donc

7

, et toutes les erreurs suivantes sont encore plus petites.

Exercice 20 — Une formule de puissance fondée sur deux comportements

On donne $P=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}3\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}$ et $L=\begin{pmatrix}0{,}4&0{,}6\\0{,}4&0{,}6\end{pmatrix}$ . Vérifier $L^2=L$ et $P=L+0{,}5(I_2-L)$ .
Prouver $P^n=L+2^{-n}(I_2-L)$ pour tout $n\geq0$ , puis calculer $p_5$ pour $p_0=(0{,}8;0{,}2)$ et déterminer la limite.

Corrigé détaillé

1. Chaque ligne de

L^2

vaut

0{,}4(0{,}4;0{,}6)+0{,}6(0{,}4;0{,}6)=(0{,}4;0{,}6)

, donc

L^2=L

. Ensuite

0{,}5I_2+0{,}5L=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}3\\0{,}2&0{,}8\end{pmatrix}=P

. 2. De

L^2=L

, on déduit

L(I_2-L)=(I_2-L)L=0

(I_2-L)^2=I_2-L

. La formule est vraie au rang

0

et sa multiplication par

P

établit immédiatement l'hérédité. Comme

p_0L=(0{,}4;0{,}6)

, on a

p_n=(0{,}4;0{,}6)+2^{-n}(0{,}4,-0{,}4)

. Ainsi

p_5=(0{,}4125;0{,}5875)

et la limite est

(0{,}4;0{,}6)

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