Terminale maths expertes

Géométrie complexe : affixes, rotations et lieux — 20 exercices

Dans ces vingt exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé direct et les points sont identifiés à leurs affixes. Les démonstrations reposent sur des égalités d’affixes, des quotients, des modules ou des arguments, jamais sur une lecture de dessin. Les questions abordent alignement, orientation, lieux géométriques, transformations directes et indirectes, constructions réciproques, carrés, triangles équilatéraux et intersections exactes.

L'essentiel à retenir

Pour des points distincts convenablement choisis, $A,B,M$ sont alignés si et seulement si $(z-a)/(b-a)$ est réel. Le quotient décrit aussi le rapport des longueurs et l’angle orienté entre les vecteurs associés.
Pour $M\ne A,B$ , $\arg((z-a)/(z-b))$ représente l’angle orienté $(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM})$ . Une condition de réalité donne une droite ; une condition d’imaginarité pure donne souvent un cercle de diamètre $[AB]$ , avec contrôle des points exclus.
La rotation d’angle $\theta$ et de centre d’affixe $\omega$ s’écrit $z'=\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$ . Pour une application $z'=az+b$ avec $a\ne1$ , le point fixe est $\omega=b/(1-a)$ .
Une égalité $|z-a|=k|z-b|$ définit une médiatrice lorsque $k=1$ , et un cercle d’Apollonius lorsque $k>0$ et $k\ne1$ . L’expansion cartésienne permet de trouver centre et rayon exacts.
Pour construire un triangle équilatéral sur un segment orienté, on utilise les facteurs $e^{\pm i\pi/3}$ . Pour un carré direct, la multiplication d’un vecteur côté par $i$ produit le côté suivant.
Toute résolution par quotient ou homographie doit conserver les valeurs interdites. Les transformations inverses doivent être obtenues algébriquement, puis contrôlées par composition ou par des points remarquables.

Exercice 1 — Un alignement paramétré sélectionne le milieu $2+i$

On donne

a=1-i

b=3+3i

m_t=t+i

, où

t\in\mathbb R

Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $A,B,M_t$ sont alignés à l’aide d’un quotient complexe.
Pour la valeur obtenue, préciser la position de $M_t$ sur la droite $(AB)$ et calculer $AM_t$ .
Déterminer l’équation cartésienne de $(AB)$ pour contrôler le résultat.

Corrigé détaillé

Les points $A$ et $B$ sont distincts car $b-a=2+4i\ne0$ . L’alignement équivaut à $(m_t-a)/(b-a)\in\mathbb R$ . Ici ce quotient vaut $((t-1)+2i)/(2+4i)$ . En multipliant par $2-4i$ , on obtient $[2t+6+i(8-4t)]/20$ . Sa partie imaginaire est nulle exactement lorsque $8-4t=0$ , donc $t=2$ .
Pour cette valeur, le quotient vaut $(4+6)/20=1/2$ . Ainsi $m-a=(b-a)/2$ et $m=(a+b)/2=2+i$ : $M$ est le milieu de $[AB]$ , et non simplement un point quelconque de la droite. La longueur $AB=|2+4i|=2\sqrt5$ , donc $AM=\sqrt5$ . On peut aussi calculer directement $|m-a|=|1+2i|=\sqrt5$ .
La droite passe par $(1,-1)$ et possède le vecteur directeur $(2,4)$ , donc une pente $2$ . Son équation est $y+1=2(x-1)$ , soit $y=2x-3$ . Pour les points $M_t=(t,1)$ , elle impose $1=2t-3$ , d’où $t=2$ . Les deux méthodes aboutissent au même point et vérifient l’absence d’autre solution.

Exercice 2 — Déterminer la nature d’un triangle sans se fier au dessin

On considère les points d’affixes

a=1+i

b=4+2i

c=3-2i

Calculer $(b-a)/(c-a)$ sous forme algébrique, puis interpréter son module et son argument.
Déterminer la nature du triangle $ABC$ et son orientation au sommet $A$ .
Calculer son aire et l’affixe du centre de son cercle circonscrit.

Corrigé détaillé

Les vecteurs issus de $A$ ont pour affixes $b-a=3+i$ et $c-a=2-3i$ . Leur quotient est $(3+i)/(2-3i)=(3+i)(2+3i)/13=(3+11i)/13$ . Son module vaut $\sqrt{9+121}/13=\sqrt{10/13}$ , et son argument appartient à $]0,\pi/2[$ avec tangente $11/3$ . Le quotient n’est donc ni imaginaire pur ni de module $1$ : il ne permet pas de conclure à un triangle rectangle isocèle en $A$ .
Calculons les carrés des côtés : $AB^2=10$ , $AC^2=13$ , et $BC^2=|1+4i|^2=17$ . Aucune somme de deux n’égale la troisième, et les trois sont distincts. Le triangle est donc scalène et non rectangle. L’angle orienté $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$ est positif, égal à $\arctan(11/3)$ modulo $2\pi$ .
Le déterminant des vecteurs $AB=(3,1)$ et $AC=(2,-3)$ vaut $-11$ , donc l’aire est $11/2$ . Pour le centre $\Omega=(x,y)$ , les égalités $\Omega A^2=\Omega B^2$ et $\Omega A^2=\Omega C^2$ donnent $6x+2y=15$ et $4x-6y=11$ . On résout : $x=28/11$ et $y=-3/22$ . Le centre a donc pour affixe $28/11-3i/22$ . Les distances et le quotient apportent une conclusion indépendante de toute impression visuelle.

Exercice 3 — Construire et vérifier une médiatrice

Soient

A

B

d’affixes

a=-1+i

b=3+5i

Déterminer le lieu des points $M$ tels que $|z-a|=|z-b|$ , par un calcul cartésien.
Donner un point et un vecteur directeur de ce lieu, puis le relier au segment $[AB]$ .
Trouver ses intersections avec les axes et vérifier directement les distances pour l’une d’elles.

Corrigé détaillé

Écrivons $z=x+iy$ . L’égalité des modules équivaut à $(x+1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-5)^2$ . En développant et en simplifiant $x^2+y^2$ , on trouve $2x-2y+2=-6x-10y+34$ , donc $8x+8y=32$ . Le lieu est la droite $x+y=4$ .
Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $(a+b)/2=1+3i$ ; ses coordonnées vérifient bien $1+3=4$ . Un vecteur directeur de la droite est $(1,-1)$ , tandis que $AB=(4,4)$ . Leur produit scalaire vaut $4-4=0$ . Le lieu est donc la médiatrice de $[AB]$ . Cette interprétation est cohérente avec l’égalité initiale des distances et confirme la constante $4$ , qu’un calcul trop rapide pourrait remplacer à tort par $2$ .
Sur l’axe réel, $y=0$ donne le point d’affixe $4$ . Sur l’axe imaginaire, $x=0$ donne $4i$ . Pour le premier, $|4-a|^2=|5-i|^2=26$ et $|4-b|^2=|1-5i|^2=26$ . Les deux distances valent $\sqrt{26}$ . Le lieu est la droite entière : aucune valeur n’a été exclue, car l’énoncé ne contient aucun quotient.

Exercice 4 — Le rapport des distances $2$ définit un cercle d’Apollonius

On donne

a=0

b=3

Déterminer le lieu $\mathcal C$ des points d’affixe $z$ vérifiant $|z|=2|z-3|$ .
Donner son centre, son rayon et ses intersections avec l’axe réel.
Décrire les points vérifiant $|z|<2|z-3|$ et situer l’origine par rapport au cercle.

Corrigé détaillé

Pour $z=x+iy$ , les deux membres sont positifs ou nuls ; on peut donc élever l’égalité au carré sans créer de solution parasite. On obtient $x^2+y^2=4[(x-3)^2+y^2]$ . Après développement, $3x^2+3y^2-24x+36=0$ , soit $x^2+y^2-8x+12=0$ . En complétant le carré, $(x-4)^2+y^2=4$ . Le lieu est un cercle, et non une droite puisque le rapport imposé est différent de $1$ .
Son centre a pour affixe $4$ et son rayon vaut $2$ . Sur l’axe réel, $(x-4)^2=4$ , donc $x=2$ ou $x=6$ . Vérification : pour $z=2$ , $2=2|2-3|$ ; pour $z=6$ , $6=2|6-3|$ .
L’inégalité stricte initiale équivaut à $x^2+y^2<4[(x-3)^2+y^2]$ , soit $(x-4)^2+y^2>4$ . Elle décrit l’extérieur strict du disque fermé délimité par $\mathcal C$ . L’origine est à distance $4$ du centre, donc à l’extérieur du cercle, et elle vérifie bien $0<2\times3$ . Le sens de l’inégalité doit être suivi lors du regroupement, car le côté correspondant au petit premier module n’est pas ici l’intérieur.

Exercice 5 — Un quotient imaginaire pur donne le cercle de diamètre $[-1,3]$

Pour

z\ne3

, on pose

q(z)=(z+1)/(z-3)

Déterminer le lieu des points tels que $q(z)$ soit imaginaire pur, en autorisant la valeur zéro.
Interpréter le lieu par un angle lorsque $z\ne-1,3$ .
Préciser les points à retirer si l’on exige un imaginaire pur non nul et donner les intersections avec l’axe imaginaire.

Corrigé détaillé

Posons $z=x+iy$ . On a $q(z)=((x+1)+iy)/((x-3)+iy)$ . En multipliant par le conjugué du dénominateur, la partie réelle du numérateur devient $(x+1)(x-3)+y^2=x^2-2x-3+y^2$ . Le dénominateur est strictement positif pour $z\ne3$ . La condition est donc $(x-1)^2+y^2=4$ . Le lieu est le cercle de centre $1$ et de rayon $2$ , privé du point d’affixe $3$ . Le point $-1$ est admis, car il donne $q=0$ , qui est imaginaire pur.
Pour $z\ne-1,3$ , l’argument de $q$ représente l’angle $(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM})$ avec $a=-1$ et $b=3$ . Être imaginaire pur non nul signifie que cet angle vaut $\pi/2$ modulo $\pi$ . Les vecteurs $BM$ et $AM$ sont perpendiculaires : on retrouve le cercle de diamètre $[AB]$ .
Si l’on exclut zéro, il faut retirer aussi $-1$ . Sur l’axe imaginaire, $x=0$ , donc $1+y^2=4$ et $y=\pm\sqrt3$ . Les intersections sont $\pm i\sqrt3$ ; elles ne sont pas des points exclus. La traduction angulaire ne s’applique pas au numérateur nul, d’où la distinction indispensable entre les deux lieux.

Exercice 6 — Un argument orienté sélectionne un arc de cercle

On donne

A

B

d’affixes

0

2

. On cherche les points

M

distincts de

A

B

tels que

\arg(z/(z-2))\equiv-\pi/4\pmod{2\pi}

Transformer la condition d’argument en égalité et inégalité sur les parties réelle et imaginaire.
Déterminer le cercle support et la portion exacte retenue.
Donner les points du lieu situés sur la droite $x=1$ .

Corrigé détaillé

Une quantité d’argument $-\pi/4$ a une partie réelle strictement positive et une partie imaginaire égale à l’opposé de cette partie réelle. Pour $z=x+iy$ avec $z\ne2$ , on calcule $z/(z-2)=[x(x-2)+y^2-2iy]/[(x-2)^2+y^2]$ . Il faut donc $x^2-2x+y^2=2y$ et $x^2-2x+y^2>0$ . En utilisant l’égalité, cette dernière condition équivaut à $y>0$ .
L’équation devient $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ . Le cercle support a pour centre $1+i$ et pour rayon $\sqrt2$ . Le lieu est sa portion située dans le demi-plan $y>0$ . Il ne s’agit pas d’un demi-cercle : le centre n’est pas sur la droite $y=0$ . Les points $0$ et $2$ , situés à la frontière, sont automatiquement exclus par $y>0$ . La condition orientée sélectionne le grand arc supérieur reliant ces deux points, sans ses extrémités.
Pour $x=1$ , on trouve $(y-1)^2=2$ , donc $y=1\pm\sqrt2$ . Seule la valeur $1+\sqrt2$ est positive. Le lieu rencontre cette verticale au seul point $z=1+i(1+\sqrt2)$ . La seconde intersection du cercle support ne vérifie pas l’argument demandé.

Exercice 7 — Comparer deux rotations et leur ordre de composition

On définit

r(z)=iz

s(z)=2-z

Identifier ces deux transformations. Calculer $r\circ s$ et $s\circ r$ .
Déterminer leurs centres et leurs angles.
Pour quels points les deux compositions ont-elles la même image ?

Corrigé détaillé

r

est la rotation de centre

0

et d’angle

\pi/2

. Comme

s(z)-1=-(z-1)

s

est le demi-tour de centre

1

. On calcule

r(s(z))=2i-iz

s(r(z))=2-iz

. 2. Les deux coefficients valent

-i

, de module

1

et d’argument

-\pi/2

. Pour la première composition, le point fixe vérifie

(1+i)a=2i

, donc

a=1+i

. Pour la seconde,

(1+i)b=2

, donc

b=1-i

. Les deux rotations ont le même angle mais des centres distincts. 3. L’égalité des images imposerait

2i-iz=2-iz

, donc

2i=2

, impossible. Aucun point ne donne la même image ; on ne peut donc pas permuter l’ordre des rotations.

Exercice 8 — Approfondissement — Deux couples de points imposent une similitude de centre $-2/3+11i/3$

On cherche une similitude directe

s(z)=\alpha z+\beta

envoyant

A(-1+i)

sur

A'(2-i)

B(1+2i)

sur

B'(4+3i)

Déterminer $\alpha$ et $\beta$ .
Donner le rapport, un angle et le centre de $s$ .
Écrire la transformation réciproque et vérifier l’antécédent de $A'$ .

Corrigé détaillé

En soustrayant les deux conditions, $\alpha(b-a)=b'-a'$ . Comme $b-a=2+i\ne0$ , $\alpha=(2+4i)/(2+i)=(2+4i)(2-i)/5=(8+6i)/5$ . Ensuite $\beta=a'-\alpha a$ . Le produit $\alpha(-1+i)=(-14+2i)/5$ , d’où $\beta=(24-7i)/5$ .
Le rapport est $|\alpha|=\sqrt{64+36}/5=2$ . Un angle est $\theta=\arctan(3/4)$ , puisque les parties réelle et imaginaire de $\alpha$ sont positives. Le centre vérifie $(1-\alpha)\omega=\beta$ . Ainsi $\omega=(24-7i)/(-3-6i)=(-2+11i)/3$ . La forme centrée est $s(z)-\omega=\alpha(z-\omega)$ .
Puisque $\alpha\ne0$ , $s$ est bijective et $s^{-1}(w)=(w-\beta)/\alpha$ . Or $1/\alpha=(4-3i)/10$ , donc $s^{-1}(w)=((4-3i)/10)[w-(24-7i)/5]$ . Pour $w=2-i$ , la différence entre crochets est $(-14+2i)/5$ , égale à $\alpha(-1+i)$ ; on retrouve bien $-1+i$ . La réciproque a rapport $1/2$ , angle $-\theta$ et le même centre.

Exercice 9 — Retrouver un antécédent par une rotation de centre $1-2i$

La rotation

r

a pour centre

\omega=1-2i

et pour angle

\pi/3

Donner son expression complexe et celle de sa réciproque.
Déterminer l’unique point $M$ dont l’image a pour affixe $p=3-2i$ .
Pour ce point $M$ , calculer $MP$ et montrer que le triangle formé par le centre, $M$ et $P$ est équilatéral.

Corrigé détaillé

Posons $u=e^{i\pi/3}=(1+i\sqrt3)/2$ . La rotation est $r(z)=\omega+u(z-\omega)$ . Sa réciproque est $r^{-1}(w)=\omega+\overline u(w-\omega)$ , car $|u|=1$ et $u^{-1}=\overline u=(1-i\sqrt3)/2$ .
Comme $p-\omega=2$ , l’antécédent est $m=\omega+2\overline u=1-2i+1-i\sqrt3=2-i(2+\sqrt3)$ . La vérification est immédiate : $m-\omega=2e^{-i\pi/3}$ , donc $u(m-\omega)=2=p-\omega$ . L’antécédent est unique puisque la rotation est bijective.
Les longueurs au centre sont $|m-\omega|=|p-\omega|=2$ . D’autre part, $p-m=1+i\sqrt3$ , de module $2$ . Les trois côtés du triangle ont donc longueur $2$ : le triangle est équilatéral. L’angle orienté du vecteur $\Omega M$ au vecteur $\Omega P$ vaut $\pi/3$ , ce qui fixe l’orientation. Le point symétrique par rapport à la droite horizontale passant par le centre serait associé à la rotation d’angle opposé, et ne serait pas le même antécédent.

Exercice 10 — Deux sommets équilatéraux sur $[1,3]$ sont $2\pm i\sqrt3$

On donne

a=1

b=3

Déterminer les deux affixes $c$ pour lesquelles $ABC$ est équilatéral.
Pour chaque solution, donner le centre du cercle circonscrit et son rayon.
Déterminer l’orientation de chaque triangle et l’aire commune.

Corrigé détaillé

Pour obtenir un triangle équilatéral sur le segment orienté $AB$ , on écrit $c-a=e^{\pm i\pi/3}(b-a)$ . Comme $b-a=2$ , on obtient $c=1+2(1/2\pm i\sqrt3/2)=2\pm i\sqrt3$ . Ces deux solutions sont distinctes et aucune n’est alignée avec $A$ et $B$ .
Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre de gravité ; on peut aussi le vérifier par égalité des distances. Son affixe vaut $g=(a+b+c)/3=2\pm i\sqrt3/3$ . Pour la solution supérieure, $|g-a|^2=|1+i\sqrt3/3|^2=1+1/3=4/3$ . Le rayon est donc $2/\sqrt3$ , et la solution inférieure donne le même rayon par conjugaison. De plus $|c-g|=2\sqrt3/3=2/\sqrt3$ , ce qui contrôle le centre.
Le déterminant de $AB=(2,0)$ et $AC=(1,\pm\sqrt3)$ vaut $\pm2\sqrt3$ . Le triangle supérieur est direct, l’inférieur indirect. L’aire, moitié de la valeur absolue de ce déterminant, vaut $\sqrt3$ . La donnée d’une orientation imposerait donc de ne conserver qu’une des deux solutions.

Exercice 11 — Le carré direct construit sur $1+2i$ et $3-i$ a pour centre $(7+3i)/2$

On fixe deux sommets consécutifs

A

B

d’affixes

a=1+2i

b=3-i

Construire algébriquement le carré direct $ABCD$ et donner $c,d$ .
Déterminer l’affixe de son centre et les longueurs d’un côté et d’une diagonale.
Donner les deux autres sommets du carré indirect construit sur le même segment orienté.

Corrigé détaillé

Le vecteur $AB$ a pour affixe $v=b-a=2-3i$ . Dans un carré direct, le vecteur $BC$ est obtenu par multiplication par $i$ , donc $iv=3+2i$ . Ainsi $c=b+iv=6+i$ et $d=a+iv=4+4i$ . On contrôle $d-c=-2+3i=-v$ et $a-d=-3-2i=-iv$ ; les quatre côtés sont de même longueur et deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
Le centre est le milieu d’une diagonale : $\omega=(a+c)/2=(7+3i)/2$ . L’autre diagonale donne $(b+d)/2=(7+3i)/2$ , même résultat. Le côté vaut $|v|=\sqrt{13}$ et la diagonale $\sqrt2|v|=\sqrt{26}$ . On peut vérifier $|c-a|=|5-i|=\sqrt{26}$ .
Pour le carré indirect, on remplace $i$ par $-i$ . On obtient $c'=b-iv=(3-i)-(3+2i)=-3i$ et $d'=a-iv=(1+2i)-(3+2i)=-2$ . Ces deux carrés sont situés de part et d’autre de la droite $(AB)$ . L’ordre des sommets est essentiel : la multiplication par $i$ encode le sens direct et non seulement la perpendicularité.

Exercice 12 — Une droite coupe le cercle $|z|=\sqrt5$ en $-1+2i$ et $2-i$

On considère le cercle

\mathcal C:|z|=\sqrt5

et la droite

\mathcal D:\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(z)=1

Calculer exactement leurs points d’intersection.
Déterminer le milieu et la longueur de la corde obtenue.
Retrouver cette longueur à l’aide de la distance du centre du cercle à la droite.

Corrigé détaillé

Pour $z=x+iy$ , le système est $x^2+y^2=5$ et $x+y=1$ . En remplaçant $y$ par $1-x$ , on obtient $x^2+(1-x)^2=5$ , soit $2x^2-2x-4=0$ , donc $(x-2)(x+1)=0$ . Si $x=2$ , $y=-1$ ; si $x=-1$ , $y=2$ . Les affixes sont donc $u=2-i$ et $v=-1+2i$ .
Le milieu a pour affixe $(u+v)/2=(1+i)/2$ . La corde a pour longueur $|u-v|=|3-3i|=3\sqrt2$ . Le vecteur joignant le centre $O$ au milieu a pour coordonnées $(1/2,1/2)$ , perpendiculaires au vecteur de la corde $(3,-3)$ , comme attendu.
La droite s’écrit $x+y-1=0$ . Sa distance à l’origine est $d=1/\sqrt2$ . Dans le triangle rectangle formé par le centre, le milieu et une extrémité de la corde, la demi-corde vaut $\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5-1/2}=3/\sqrt2$ . La corde entière vaut donc $6/\sqrt2=3\sqrt2$ . Les deux méthodes donnent exactement la même longueur et montrent que la droite est sécante, puisque $d<R$ .

Exercice 13 — Deux cercles se rencontrent en $2\pm i\sqrt5$

On considère les cercles

\mathcal C_1:|z|=3

\mathcal C_2:|z-4|=3

Soustraire les équations cartésiennes des deux cercles et en déduire une équation de la droite portant leur corde commune.
Calculer leurs intersections.
Déterminer l’aire du triangle formé par les deux centres et le point d’intersection situé dans le demi-plan supérieur.

Corrigé détaillé

En écrivant $z=x+iy$ , les équations sont $x^2+y^2=9$ et $(x-4)^2+y^2=9$ . Leur différence donne $-8x+16=0$ , donc $x=2$ . Plus généralement, l’égalité des puissances $|z|^2-9=|z-4|^2-9$ définit cette droite entière : c’est l’axe radical. Ici, les rayons égaux en font aussi la médiatrice du segment joignant les centres.
On reporte $x=2$ dans la première équation : $4+y^2=9$ , donc $y=\pm\sqrt5$ . Les intersections sont $p=2+i\sqrt5$ et $q=2-i\sqrt5$ . Elles sont bien distinctes puisque $\sqrt5>0$ . Les deux cercles sont sécants ; la distance de leurs centres est $4$ , strictement comprise entre $0$ et $6$ .
Les centres sont $O=(0,0)$ et $A=(4,0)$ . Pour le point supérieur $P=(2,\sqrt5)$ , la base $OA$ vaut $4$ et la hauteur correspondante vaut $\sqrt5$ . L’aire du triangle $OAP$ est donc $4\sqrt5/2=2\sqrt5$ . Les deux côtés $OP$ et $AP$ valent $3$ , ce qui établit aussi que ce triangle est isocèle, sans qu’il soit nécessaire de tracer les cercles.

Exercice 14 — Une translation composée avec un quart de tour déplace le centre

On pose

r(z)=iz+1-i

t(z)=z+2+i

Déterminer les expressions de $t\circ r$ et $r\circ t$ .
Montrer que chacune est une rotation et calculer son centre.
Comparer les deux compositions et déterminer s’il existe un point où leurs images coïncident.

Corrigé détaillé

On calcule $(t\circ r)(z)=iz+1-i+2+i=iz+3$ . Dans l’autre ordre, $(r\circ t)(z)=i(z+2+i)+1-i=iz+2i-1+1-i=iz+i$ . Les coefficients constants sont différents, donc les transformations ne sont pas égales.
Une application $z\mapsto iz+b$ est une rotation d’angle $\pi/2$ dont le centre vérifie $(1-i)\omega=b$ . Pour $t\circ r$ , $\omega_1=3/(1-i)=3(1+i)/2$ . Pour $r\circ t$ , $\omega_2=i/(1-i)=(-1+i)/2$ . Les deux rotations ont donc le même angle mais des centres distincts. On vérifie chaque centre en le remplaçant dans l’expression correspondante.
La différence des deux images vaut $(iz+3)-(iz+i)=3-i$ , indépendante de $z$ et non nulle. Il n’existe donc aucun point pour lequel les images coïncident. On peut écrire $t\circ r=\tau\circ(r\circ t)$ , où $\tau$ est la translation de vecteur d’affixe $3-i$ . Cet exemple montre que rotation et translation ne commutent généralement pas. La conservation du coefficient de $z$ ne suffit pas à identifier deux transformations.

Exercice 15 — Approfondissement — La réflexion d’axe passant par $i$ et de direction $2+i$

Soit

\mathcal D

la droite passant par le point d’affixe

i

et de vecteur directeur d’affixe

2+i

Établir que la réflexion d’axe $\mathcal D$ s’écrit $s(z)=((3+4i)/5)\overline z+(-4+8i)/5$ .
Déterminer l’image de l’origine et le projeté orthogonal de l’origine sur $\mathcal D$ .
Retrouver une équation cartésienne de l’axe et vérifier le projeté.

Corrigé détaillé

Pour une droite de point $a$ et de direction $u\ne0$ , la réflexion s’écrit $s(z)=a+(u/\overline u)\overline{z-a}$ . Ici $a=i$ et $u=2+i$ . On a $u/\overline u=(2+i)/(2-i)=(3+4i)/5$ . Comme $\overline{z-i}=\overline z+i$ , le terme constant est $i+((3+4i)/5)i=(-4+8i)/5$ . L’expression correcte est donc $s(z)=((3+4i)/5)\overline z+(-4+8i)/5$ . On retrouve ainsi la formule annoncée.
L’image de l’origine a pour affixe $s(0)=(-4+8i)/5$ . Le projeté orthogonal $H$ est le milieu du segment joignant un point à son symétrique : $h=s(0)/2=(-2+4i)/5$ .
Un point de l’axe s’écrit $(x,y)=(0,1)+t(2,1)$ , donc $x=2t$ et $y=1+t$ . Une équation est $x-2y+2=0$ . Pour $H=(-2/5,4/5)$ , on obtient $-2/5-8/5+2=0$ . Le vecteur $OH=(-2/5,4/5)$ est orthogonal au vecteur directeur $(2,1)$ , car leur produit scalaire vaut $-4/5+4/5=0$ . Les deux propriétés établissent bien le projeté.

Exercice 16 — Une homographie envoie le demi-plan supérieur sur le disque unité

On considère

f(z)=(z-i)/(z+i)

pour

z\ne-i

Montrer que $|f(z)|<1$ équivaut à $\operatorname{Im}(z)>0$ .
Déterminer l’image de l’axe réel, en précisant le point du cercle unité qui manque.
Calculer l’inverse de $f$ et l’image de $2+i$ .

Corrigé détaillé

Pour $z=x+iy$ , $|f(z)|<1$ équivaut à $|z-i|<|z+i|$ , le dénominateur étant non nul. Après passage aux carrés, $x^2+(y-1)^2<x^2+(y+1)^2$ , donc $-2y<2y$ , soit $y>0$ . Le point interdit $-i$ n’appartient pas à ce demi-plan ; l’équivalence y est complète.
Pour $y=0$ , les deux distances à $i$ et à $-i$ sont égales, donc $|f(z)|=1$ . La valeur $w=1$ n’est jamais atteinte : $z-i=z+i$ serait impossible. Inversement, si $|w|=1$ et $w\ne1$ , la formule inverse ci-dessous donne un nombre réel, car la condition $|z-i|=|z+i|$ équivaut à $\operatorname{Im}(z)=0$ . L’image est donc le cercle unité privé de $1$ .
De $w(z+i)=z-i$ , on tire $(w-1)z=-i(1+w)$ , donc $z=i(1+w)/(1-w)$ pour $w\ne1$ . Enfin $f(2+i)=2/(2+2i)=(1-i)/2$ . Son module vaut $1/\sqrt2<1$ , conformément au fait que $2+i$ appartient au demi-plan supérieur. Le contrôle du point manquant est indispensable pour décrire exactement l’image.

Exercice 17 — Un déplacement constant par rotation définit un cercle

On définit

r(z)=2+i+i(z-2-i)

Simplifier $r(z)$ et exprimer $|r(z)-z|$ en fonction de la distance de $z$ au centre de la rotation.
Déterminer le lieu des points tels que $|r(z)-z|=4$ .
Trouver les points de ce lieu situés sur l’axe réel et calculer leurs images.

Corrigé détaillé

Le centre est $\omega=2+i$ et l’angle $\pi/2$ . En développant, $r(z)=iz+3-i$ . Puis $r(z)-z=(i-1)(z-\omega)$ , donc $|r(z)-z|=|i-1||z-\omega|=\sqrt2|z-(2+i)|$ . La longueur du déplacement est donc proportionnelle à la distance au centre.
La condition demandée équivaut à $|z-(2+i)|=4/\sqrt2=2\sqrt2$ . Le lieu est le cercle de centre $2+i$ et de rayon $2\sqrt2$ , d’équation $(x-2)^2+(y-1)^2=8$ . Il ne contient pas le centre, pour lequel le déplacement serait nul.
Sur l’axe réel, $y=0$ , donc $(x-2)^2+1=8$ et $x=2\pm\sqrt7$ . Les points ont pour affixes $z_\pm=2\pm\sqrt7$ . Leurs images sont $r(z_\pm)=3+i(1\pm\sqrt7)$ . Le déplacement vaut alors $[1\mp\sqrt7]+i[1\pm\sqrt7]$ ; son module au carré est $(1\mp\sqrt7)^2+(1\pm\sqrt7)^2=16$ , donc sa longueur est bien $4$ . La vérification confirme les deux intersections exactes et la constante de proportionnalité.

Exercice 18 — Le cercle passant par $2$ , $4i$ et $3+i$ a pour centre $1+2i$

On donne

A(2)

B(4i)

C(3+i)

Montrer que ces trois points ne sont pas alignés.
Déterminer l’équation, le centre et le rayon de leur cercle circonscrit.
Déterminer les points du cercle situés sur la droite $y=2$ et interpréter le segment qu’ils forment.

Corrigé détaillé

Les vecteurs $AB$ et $AC$ ont pour affixes $-2+4i$ et $1+i$ . Leur quotient $(1+i)/(-2+4i)=((1+i)(-2-4i))/20=(1-3i)/10$ n’est pas réel. Les trois points sont donc non alignés et déterminent un unique cercle.
Une équation de cercle s’écrit $x^2+y^2+ux+vy+w=0$ . En utilisant $A=(2,0)$ , $B=(0,4)$ et $C=(3,1)$ , on obtient respectivement $4+2u+w=0$ , $16+4v+w=0$ et $10+3u+v+w=0$ . La résolution donne $u=-2$ , $v=-4$ , $w=0$ . L’équation est donc $x^2+y^2-2x-4y=0$ , soit $(x-1)^2+(y-2)^2=5$ . Le centre est $\omega=1+2i$ et le rayon vaut $\sqrt5$ .
Pour $y=2$ , on trouve $(x-1)^2=5$ , donc $x=1\pm\sqrt5$ . Les affixes sont $1\pm\sqrt5+2i$ . Leur milieu est le centre du cercle et leur distance vaut $2\sqrt5$ , deux fois le rayon. Ils sont donc les extrémités d’un diamètre horizontal. Aucune lecture graphique n’intervient dans cette identification.

Exercice 19 — Un carré et un cercle se coupent en deux points de coordonnées exactes

Le carré direct

ABCD

a pour sommets

a=0

b=2

c=2+2i

d=2i

. On considère le cercle

\Gamma:|z-1|=\sqrt2

Déterminer les intersections de $\Gamma$ avec les quatre droites portant les côtés du carré.
Parmi ces points, conserver ceux qui appartiennent réellement au périmètre du carré.
Donner leurs images par la symétrie centrale de centre $1+i$ et préciser si ces images sont encore sur $\Gamma$ .

Corrigé détaillé

L’équation du cercle est $(x-1)^2+y^2=2$ . Sur la droite $(AB)$ , $y=0$ , donc $x=1\pm\sqrt2$ . Sur $(BC)$ , $x=2$ , donc $y=\pm1$ , ce qui donne $2+i$ et $2-i$ . Sur $(CD)$ , $y=2$ , donc $(x-1)^2=-2$ : aucune intersection réelle. Sur $(DA)$ , $x=0$ , donc $y=\pm1$ , ce qui donne $i$ et $-i$ .
Le côté $[AB]$ impose $0\le x\le2$ ; ni $1-\sqrt2<0$ ni $1+\sqrt2>2$ ne convient. Le côté $[BC]$ impose $0\le y\le2$ , donc seul $2+i$ reste. Le côté $[DA]$ retient seulement $i$ . Le périmètre du carré rencontre donc $\Gamma$ exactement en $i$ et $2+i$ .
La symétrie centrale de centre $\omega=1+i$ est $s(z)=2+2i-z$ . Elle échange $i$ et $2+i$ . Leurs images sont donc encore sur le cercle. En revanche, cela ne signifie pas que tout le cercle soit invariant : son centre $1$ est envoyé sur $1+2i$ , distinct de $1$ . L’invariance de cette paire particulière doit être distinguée de l’invariance globale du cercle.

Exercice 20 — Une reconstruction inverse détermine un carré de centre $1+i$

On sait qu’un carré direct

ABCD

a pour centre

\omega=1+i

et que la rotation de centre

\omega

, d’angle

\pi/2

, envoie

A

sur

B

. On connaît

b=3+i

Retrouver $a$ , puis déterminer $c$ et $d$ .
Vérifier que l’ordre $A,B,C,D$ définit bien un carré direct.
Trouver les intersections de son cercle circonscrit avec la droite $y=x$ .

Corrigé détaillé

La relation $b-\omega=i(a-\omega)$ donne $a-\omega=-i(b-\omega)=-2i$ , donc $a=1-i$ . Les sommets opposés sont symétriques par rapport au centre : $c=2\omega-a=1+3i$ et $d=2\omega-b=-1+i$ . On retrouve aussi ces points en appliquant successivement la même rotation.
Les côtés ont pour affixes $b-a=2+2i$ , $c-b=-2+2i$ , $d-c=-2-2i$ et $a-d=2-2i$ . Chacun est le précédent multiplié par $i$ ; ils ont donc même module $2\sqrt2$ et forment des angles droits dans le sens direct. Les diagonales ont toutes deux pour milieu $1+i$ , ce qui confirme le centre.
La distance du centre à chaque sommet vaut $2$ , donc le cercle circonscrit a pour équation $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ . Sur $y=x$ , on obtient $2(x-1)^2=4$ , d’où $x=1\pm\sqrt2$ . Les intersections ont pour affixes $(1+\sqrt2)(1+i)$ et $(1-\sqrt2)(1+i)$ . Leur milieu est le centre et leur distance vaut $4$ : elles constituent un diamètre, puisque la droite $y=x$ passe par le centre.

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Géométrie complexe : affixes, rotations et lieux — 20 exercices

L'essentiel à retenir

Exercice 1 — Un alignement paramétré sélectionne le milieu 2+i2+i2+i

Exercice 2 — Déterminer la nature d’un triangle sans se fier au dessin

Exercice 3 — Construire et vérifier une médiatrice

Exercice 4 — Le rapport des distances 222 définit un cercle d’Apollonius

Exercice 5 — Un quotient imaginaire pur donne le cercle de diamètre [−1,3][-1,3][−1,3]

Exercice 6 — Un argument orienté sélectionne un arc de cercle

Exercice 7 — Comparer deux rotations et leur ordre de composition

Exercice 8 — Approfondissement — Deux couples de points imposent une similitude de centre −2/3+11i/3-2/3+11i/3−2/3+11i/3

Exercice 9 — Retrouver un antécédent par une rotation de centre 1−2i1-2i1−2i

Exercice 10 — Deux sommets équilatéraux sur [1,3][1,3][1,3] sont 2±i32\pm i\sqrt32±i3​

Exercice 11 — Le carré direct construit sur 1+2i1+2i1+2i et 3−i3-i3−i a pour centre (7+3i)/2(7+3i)/2(7+3i)/2

Exercice 12 — Une droite coupe le cercle ∣z∣=5|z|=\sqrt5∣z∣=5​ en −1+2i-1+2i−1+2i et 2−i2-i2−i

Exercice 13 — Deux cercles se rencontrent en 2±i52\pm i\sqrt52±i5​

Exercice 14 — Une translation composée avec un quart de tour déplace le centre

Exercice 15 — Approfondissement — La réflexion d’axe passant par iii et de direction 2+i2+i2+i

Exercice 16 — Une homographie envoie le demi-plan supérieur sur le disque unité

Exercice 17 — Un déplacement constant par rotation définit un cercle

Exercice 18 — Le cercle passant par 222, 4i4i4i et 3+i3+i3+i a pour centre 1+2i1+2i1+2i

Exercice 19 — Un carré et un cercle se coupent en deux points de coordonnées exactes

Exercice 20 — Une reconstruction inverse détermine un carré de centre 1+i1+i1+i

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Exercice 1 — Un alignement paramétré sélectionne le milieu $2+i$

Exercice 4 — Le rapport des distances $2$ définit un cercle d’Apollonius

Exercice 5 — Un quotient imaginaire pur donne le cercle de diamètre $[-1,3]$

Exercice 8 — Approfondissement — Deux couples de points imposent une similitude de centre $-2/3+11i/3$

Exercice 9 — Retrouver un antécédent par une rotation de centre $1-2i$

Exercice 10 — Deux sommets équilatéraux sur $[1,3]$ sont $2\pm i\sqrt3$

Exercice 11 — Le carré direct construit sur $1+2i$ et $3-i$ a pour centre $(7+3i)/2$

Exercice 12 — Une droite coupe le cercle $|z|=\sqrt5$ en $-1+2i$ et $2-i$

Exercice 13 — Deux cercles se rencontrent en $2\pm i\sqrt5$

Exercice 15 — Approfondissement — La réflexion d’axe passant par $i$ et de direction $2+i$

Exercice 18 — Le cercle passant par $2$ , $4i$ et $3+i$ a pour centre $1+2i$

Exercice 20 — Une reconstruction inverse détermine un carré de centre $1+i$