Terminale maths expertes

Complexes : module, argument et forme exponentielle — 20 exercices

Vingt exercices progressifs de Terminale Maths expertes sur les formes trigonométrique et exponentielle : choix du quadrant, arguments modulo

2\pi

, formule de Moivre, formules d’Euler, sommes et transformations. Les conditions de définition et les cas exceptionnels sont expliqués dans chaque corrigé.

L'essentiel à retenir

Pour tout réel $\theta$ , $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Un complexe non nul s'écrit $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|>0$ ; les arguments possibles sont les réels $\theta+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .
Dans cette série, l'argument principal appartient à $]-\pi,\pi]$ . Ainsi l'argument principal d'un réel strictement négatif vaut $\pi$ , et non $-\pi$ . Zéro n'a pas d'argument.
On a $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ et $e^{i\alpha}/e^{i\beta}=e^{i(\alpha-\beta)}$ . L'égalité $e^{i\alpha}=e^{i\beta}$ équivaut à $\alpha-\beta\in2\pi\mathbb Z$ .
Pour un entier $n$ , la formule de Moivre donne $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$ , avec $r>0$ si $n$ est négatif. Pour une puissance réelle d'un complexe, il faut fixer une convention d'argument ; les propriétés usuelles demandent alors des précautions.
Les formules d'Euler sont $\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ et $\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)$ . Elles servent à linéariser des puissances et à calculer des sommes.
Pour $q\ne1$ , $\sum_{k=0}^{n-1}q^k=(1-q^n)/(1-q)$ . Si $q=e^{ix}$ , il faut traiter séparément les valeurs $x\in2\pi\mathbb Z$ avant toute division par $\sin(x/2)$ .
Une transformation $z\mapsto a+e^{i\theta}(z-a)$ est une rotation de centre d'affixe $a$ et d'angle $\theta$ . Plus généralement, un coefficient $re^{i\theta}$ combine un rapport de distances $r$ et un angle $\theta$ .
Pour trois points distincts d'affixes $a,b,c$ , un argument de $(c-a)/(b-a)$ représente l'angle orienté des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , modulo $2\pi$ . Un angle non orienté nécessite ensuite un choix dans $[0,\pi]$ .

Exercice 1 — Quadrant et forme exponentielle exacte

On considère

z=-\sqrt3+i

w=-1-i

Déterminer leurs modules et leurs arguments principaux dans $]-\pi,\pi]$ .
Donner une forme exponentielle de $z/w$ .
Retrouver sa forme algébrique et expliquer pourquoi la tangente seule ne suffit pas à choisir un argument.

Corrigé détaillé

On a $|z|=\sqrt{3+1}=2$ . Ainsi $\operatorname{Re}(z)/|z|=-\sqrt3/2$ et $\operatorname{Im}(z)/|z|=1/2$ . Le point est dans le deuxième quadrant, donc $\operatorname{Arg}(z)=5\pi/6$ et $z=2e^{5i\pi/6}$ . De même, $|w|=\sqrt2$ ; ses deux coordonnées sont négatives, donc son argument principal est $-3\pi/4$ et $w=\sqrt2e^{-3i\pi/4}$ .
Le quotient vaut $z/w=\sqrt2e^{i(5\pi/6+3\pi/4)}=\sqrt2e^{19i\pi/12}$ . En retirant $2\pi$ , on obtient l'argument principal $-5\pi/12$ . Une forme exponentielle avec argument principal est donc $\sqrt2e^{-5i\pi/12}$ .
Directement, $z/w=((-\sqrt3+i)(-1+i))/2=(\sqrt3-1)/2-i(\sqrt3+1)/2$ . La partie réelle est positive et la partie imaginaire négative : le quotient est bien dans le quatrième quadrant. Une valeur de tangente ne détermine un angle que modulo $\pi$ , car $\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$ . Les signes du cosinus et du sinus, ou ceux des coordonnées, sont indispensables pour distinguer les deux directions opposées.

Exercice 2 — Argument principal et coupure de branche

Pour

\theta\in]-\pi,\pi]

, on pose

z_\theta=e^{i\theta}

Déterminer $\operatorname{Arg}(z_\theta^2)$ en fonction de $\theta$ .
Donner un exemple où $\operatorname{Arg}(z^2)\ne2\operatorname{Arg}(z)$ .
Déterminer quand l'égalité est vraie comme égalité de réels, et non seulement modulo $2\pi$ .

Corrigé détaillé

On a toujours $z_\theta^2=e^{2i\theta}$ , mais $2\theta$ peut sortir de l'intervalle principal. Si $-\pi<\theta\leq-\pi/2$ , alors $-2\pi<2\theta\leq-\pi$ ; il faut ajouter $2\pi$ , ce qui donne $\operatorname{Arg}(z_\theta^2)=2\theta+2\pi$ . Si $-\pi/2<\theta\leq\pi/2$ , alors $-\pi<2\theta\leq\pi$ , donc l'argument principal vaut $2\theta$ . Enfin, si $\pi/2<\theta\leq\pi$ , on retire $2\pi$ et l'on obtient $2\theta-2\pi$ . Le traitement de $\theta=-\pi/2$ est particulier : le carré vaut $-1$ , dont l'argument principal est $\pi$ , pas $-\pi$ .
Prenons $z=e^{3i\pi/4}$ . Alors $2\operatorname{Arg}(z)=3\pi/2$ , tandis que $z^2=e^{3i\pi/2}$ a pour argument principal $-\pi/2$ . Les deux nombres diffèrent de $2\pi$ .
L'égalité réelle $\operatorname{Arg}(z_\theta^2)=2\theta$ est vraie exactement lorsque $2\theta\in]-\pi,\pi]$ , soit $-\pi/2<\theta\leq\pi/2$ . Dans tous les cas, la congruence $\operatorname{Arg}(z_\theta^2)\equiv2\theta\pmod{2\pi}$ reste vraie. Il faut donc distinguer une identité d'arguments modulo $2\pi$ d'une identité entre représentants principaux.

Exercice 3 — Grande puissance par la formule de Moivre

Calculer exactement $(\sqrt3+i)^{12}$ .
Calculer $(\sqrt3+i)^{-3}$ sous forme algébrique.
Retrouver cette seconde valeur en calculant d'abord le cube puis son inverse.

Corrigé détaillé

Le module de $\sqrt3+i$ vaut $2$ et son argument principal est $\pi/6$ , car son cosinus normalisé vaut $\sqrt3/2$ et son sinus normalisé $1/2$ . Ainsi $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$ . Par la formule de Moivre, $(\sqrt3+i)^{12}=2^{12}e^{2i\pi}=4096$ .
Le nombre de départ étant non nul, la puissance négative est définie. On obtient $(\sqrt3+i)^{-3}=2^{-3}e^{-i\pi/2}=\frac18(0-i)=-i/8$ . Le module est donc $1/8$ , ce qui est cohérent avec le fait que l'on inverse un cube de module $2^3=8$ .
Calculons d'abord le carré : $(\sqrt3+i)^2=3+2\sqrt3i-1=2+2\sqrt3i$ . En multipliant une fois encore par $\sqrt3+i$ , on trouve $(2+2\sqrt3i)(\sqrt3+i)=2\sqrt3+2i+6i-2\sqrt3=8i$ . Son inverse vaut $1/(8i)=-i/8$ , car $i(-i)=1$ . Ce contrôle met en évidence les avantages de Moivre : le calcul de la douzième puissance est immédiat alors qu'un développement direct serait long. Il rappelle aussi que $z^{-3}$ signifie $1/z^3$ et ne désigne pas une recherche de racines cubiques.

Exercice 4 — Formules d'Euler et linéarisation de puissances

Démontrer $\cos^3x=(3\cos x+\cos3x)/4$ avec les exponentielles.
Démontrer de même $\sin^3x=(3\sin x-\sin3x)/4$ .
En déduire la valeur exacte de $\cos^3(\pi/9)-\frac34\cos(\pi/9)$ .

Corrigé détaillé

La formule d'Euler donne $\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ . En élevant au cube, $8\cos^3x=e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}$ . On regroupe les termes conjugués : $e^{3ix}+e^{-3ix}=2\cos3x$ et $3e^{ix}+3e^{-ix}=6\cos x$ . En divisant par $8$ , on obtient $\cos^3x=(\cos3x+3\cos x)/4$ .
De même, $\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)$ . Le cube du dénominateur vaut $(2i)^3=-8i$ . Le numérateur développé est $e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}$ . Il se réécrit $(e^{3ix}-e^{-3ix})-3(e^{ix}-e^{-ix})=2i\sin3x-6i\sin x$ . La division par $-8i$ donne $\sin^3x=(3\sin x-\sin3x)/4$ . Le signe négatif du cube de $i$ explique le signe devant $\sin3x$ .
La première identité donne $\cos^3x-\frac34\cos x=\frac14\cos3x$ . Pour $x=\pi/9$ , on a $3x=\pi/3$ et $\cos(\pi/3)=1/2$ . La valeur cherchée est donc $1/8$ , sans qu'il soit nécessaire de connaître une expression algébrique de $\cos(\pi/9)$ .

Exercice 5 — Somme de cosinus en progression arithmétique

Pour

n\geq1

, on pose

C_n=\sum_{k=0}^{n-1}\cos(a+kd)

, avec

a,d\in\mathbb R

Établir une formule fermée lorsque $d\notin2\pi\mathbb Z$ .
Traiter le cas exclu.
Calculer $\cos(\pi/12)+\cos(\pi/4)+\cos(5\pi/12)$ .

Corrigé détaillé

Considérons $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{i(a+kd)}=e^{ia}(1-e^{ind})/(1-e^{id})$ , la division étant autorisée parce que $d\notin2\pi\mathbb Z$ . Pour tout réel $t$ , $1-e^{it}=-2ie^{it/2}\sin(t/2)$ . Ainsi $S_n=e^{i(a+(n-1)d/2)}\sin(nd/2)/\sin(d/2)$ . Le quotient des sinus est réel, éventuellement négatif ; on peut donc prendre la partie réelle sans supposer qu'il est un module. Il vient $C_n=\frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)}\cos\left(a+\frac{(n-1)d}{2}\right)$ .
Si $d\in2\pi\mathbb Z$ , chaque terme vaut $\cos a$ , donc $C_n=n\cos a$ . Il ne faut pas remplacer directement $d$ dans la formule précédente, dont le dénominateur s'annule. La somme initiale reste pourtant parfaitement définie.
Ici $n=3$ , $a=\pi/12$ et $d=\pi/6$ . La formule donne $C_3=\sin(\pi/4)\cos(\pi/4)/\sin(\pi/12)=1/(2\sin(\pi/12))$ . Or $\sin(\pi/12)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ . Ainsi $C_3=2/(\sqrt6-\sqrt2)=(\sqrt6+\sqrt2)/2$ . Le résultat est positif, conformément au fait que les trois angles sont dans le premier quadrant.

Exercice 6 — Somme complexe finie et annulation exacte

Pour

x\in\mathbb R

, on définit

G(x)=1+e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}

Factoriser $G(x)$ en un produit faisant apparaître deux cosinus.
Déterminer son module.
Résoudre $G(x)=0$ sur $[0,2\pi[$ sans chercher de racines n-ièmes.

Corrigé détaillé

On peut regrouper les termes sous la forme $G(x)=(1+e^{ix})(1+e^{2ix})$ . Les identités $1+e^{ix}=2e^{ix/2}\cos(x/2)$ et $1+e^{2ix}=2e^{ix}\cos x$ donnent $G(x)=4e^{3ix/2}\cos(x/2)\cos x$ . Cette factorisation est valable pour tout réel $x$ et ne comporte aucun dénominateur : aucun cas particulier n'a donc été perdu.
Comme $|e^{3ix/2}|=1$ , le module vaut $|G(x)|=4|\cos(x/2)\cos x|$ . Il serait incorrect de supprimer les valeurs absolues sur tout l'intervalle, car le produit des cosinus change de signe. Par exemple, pour $x=2\pi/3$ , $\cos(x/2)>0$ mais $\cos x<0$ .
L'exponentielle n'étant jamais nulle, $G(x)=0$ équivaut à $\cos(x/2)=0$ ou $\cos x=0$ . Sur $[0,2\pi[$ , la première condition donne $x=\pi$ ; la seconde donne $x=\pi/2$ ou $x=3\pi/2$ . Les solutions sont donc $\{\pi/2,\pi,3\pi/2\}$ . À $x=0$ , la somme vaut $4$ et ne s'annule pas. La résolution repose ici sur une factorisation et des équations trigonométriques élémentaires, pas sur une liste de racines de l'unité.

Exercice 7 — Argument d'un inverse et choix de l'angle

Soit

z=-2-2\sqrt3i

Donner une forme exponentielle de $z$ avec argument principal.
Déterminer l'argument principal et la forme algébrique de $1/z$ .
Expliquer la règle générale pour l'argument principal de l'inverse, notamment sur l'axe réel négatif.

Corrigé détaillé

Le module vaut $\sqrt{4+12}=4$ . Les coordonnées normalisées sont $-1/2$ et $-\sqrt3/2$ . Le nombre appartient au troisième quadrant ; son argument principal dans $]-\pi,\pi]$ est donc $-2\pi/3$ . Ainsi $z=4e^{-2i\pi/3}$ .
L'inverse est $1/z=\frac14e^{2i\pi/3}$ . L'angle $2\pi/3$ appartient déjà à l'intervalle principal. En revenant à la forme algébrique, $1/z=\frac14(-1/2+i\sqrt3/2)=-1/8+i\sqrt3/8$ . Le calcul par le conjugué confirme : $1/z=(-2+2\sqrt3i)/16=-1/8+i\sqrt3/8$ .
Si $\theta$ est un argument de $z\ne0$ , alors $-\theta$ est un argument de $1/z$ , car le produit des exponentielles vaut $1$ . Pour les arguments principaux, on a généralement $\operatorname{Arg}(1/z)=-\operatorname{Arg}(z)$ lorsque $\operatorname{Arg}(z)\in]-\pi,\pi[$ . Cependant, si $z$ est réel strictement négatif, son argument principal vaut $\pi$ , et $-\pi$ est exclu de notre intervalle. L'inverse est encore réel strictement négatif ; son argument principal vaut donc $\pi$ , non $-\pi$ . La règle correcte est toujours une congruence modulo $2\pi$ , suivie du choix du représentant autorisé.

Exercice 8 — Approfondissement hors programme — Puissances réelles : une convention à expliciter

On pose

z=4e^{2i\pi/3}

. Pour

t\in\mathbb R

, on définit ici

z^{[t]}=4^te^{2i\pi t/3}

en conservant cet argument fixé.

Déterminer les $t$ pour lesquels $z^{[t]}$ est réel, puis réel strictement positif.
Calculer $z^{[1/2]}$ .
Montrer qu'un autre argument du même $z$ peut changer cette valeur.

Corrigé détaillé

Le facteur $4^t$ est strictement positif pour tout réel $t$ . Ainsi $z^{[t]}$ est réel si et seulement si $\sin(2\pi t/3)=0$ , soit $2\pi t/3=k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$ . On obtient $t=3k/2$ . La valeur est alors $4^{3k/2}(-1)^k$ ; elle est strictement positive exactement lorsque $k$ est pair, c'est-à-dire $t\in3\mathbb Z$ . Pour $k$ impair, elle est strictement négative. Elle n'est jamais nulle.
Avec la convention donnée, $z^{[1/2]}=2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt3$ . Son carré est bien $4e^{2i\pi/3}=z$ . Le calcul ne prétend pas définir une puissance réelle indépendante de tout choix d'argument : il applique la définition explicite de l'énoncé.
Le même nombre s'écrit $z=4e^{i(2\pi/3+2\pi)}=4e^{8i\pi/3}$ . Si l'on utilisait cet argument pour définir la puissance d'exposant $1/2$ , on obtiendrait $2e^{4i\pi/3}=-1-i\sqrt3$ , valeur opposée à la précédente. Plus généralement, ajouter $2k\pi$ à l'argument multiplie la puissance d'exposant $t$ par $e^{2ik\pi t}$ . Pour les exposants entiers, ce facteur vaut toujours $1$ ; pour un exposant réel quelconque, ce n'est pas le cas. C'est pourquoi la formule des puissances entières ne fournit pas, à elle seule, une définition univoque des puissances réelles complexes.

Exercice 9 — Une suite récurrente et sa trajectoire en spirale

On définit

z_0=3

z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n+1-i

Déterminer le point fixe, puis une expression explicite de $z_n$ .
Décrire l'évolution des distances et des angles par rapport à ce point.
Étudier la limite et les indices pour lesquels $z_n$ est réel.

Corrigé détaillé

Le point fixe $\ell$ vérifie $\ell=\frac{1+i}{2}\ell+1-i$ , donc $\frac{1-i}{2}\ell=1-i$ , d'où $\ell=2$ . Posons $u_n=z_n-2$ . La relation devient $u_{n+1}=qu_n$ , avec $q=(1+i)/2$ , et $u_0=1$ . Ainsi $u_n=q^n$ . Comme $q=2^{-1/2}e^{i\pi/4}$ , on obtient $z_n=2+2^{-n/2}e^{in\pi/4}$ .
La distance au point d'affixe $2$ vaut $|z_n-2|=2^{-n/2}$ . Elle est multipliée à chaque étape par $1/\sqrt2$ . En outre, $u_n$ n'est jamais nul, donc l'angle orienté entre deux positions successives par rapport au centre est toujours $\pi/4$ modulo $2\pi$ . La trajectoire discrète tourne donc de $45$ degrés à chaque étape tout en se rapprochant du centre. Après huit étapes, l'angle a augmenté de $2\pi$ et la distance a été divisée par $16$ .
Puisque $0<1/\sqrt2<1$ , le terme $2^{-n/2}$ tend vers zéro ; par conséquent $z_n\to2$ . La suite n'atteint jamais $2$ , car $q^n\ne0$ . Enfin, $z_n$ est réel exactement lorsque $\sin(n\pi/4)=0$ , soit $n\pi/4\in\pi\mathbb Z$ . Pour $n\in\mathbb N$ , cela équivaut à $n$ multiple de $4$ . On a alors $z_{4k}=2+(-1)^k2^{-2k}$ , ce qui décrit l'alternance des positions réelles autour du centre.

Exercice 10 — Identifier une rotation à partir d'une écriture affine

On considère

f(z)=iz+2+i

Trouver son point fixe et écrire $f(z)-a$ en fonction de $z-a$ .
Identifier la transformation et calculer l'image de $0$ .
Déterminer $f\circ f$ puis $f^4$ , où $f^4$ désigne la quatrième composée.

Corrigé détaillé

Un point fixe $a$ vérifie $a=ia+2+i$ , donc $(1-i)a=2+i$ . En multipliant par $1+i$ , on obtient $a=((2+i)(1+i))/2=(1+3i)/2$ . Comme $a=ia+2+i$ , on peut soustraire cette égalité à la définition de $f$ : $f(z)-a=i(z-a)=e^{i\pi/2}(z-a)$ .
La transformation est donc la rotation de centre d'affixe $a=1/2+3i/2$ et d'angle $\pi/2$ . Elle conserve toutes les distances au centre et fait tourner chaque vecteur issu du centre d'un quart de tour dans le sens direct. L'image de l'origine est $f(0)=2+i$ . On peut vérifier la conservation de la distance : $|0-a|^2=1/4+9/4=5/2$ , et $|(2+i)-a|^2=|3/2-i/2|^2=9/4+1/4=5/2$ .
En composant dans l'écriture centrée, $f(f(z))-a=i^2(z-a)=-(z-a)$ , donc $f\circ f(z)=2a-z=1+3i-z$ . C'est le demi-tour de centre $a$ . Après quatre compositions, $f^4(z)-a=i^4(z-a)=z-a$ , donc $f^4(z)=z$ pour tout complexe $z$ . Il faut distinguer cette notation de la quatrième puissance du nombre $f(z)$ : il s'agit ici d'itérer une transformation.

Exercice 11 — Quotient d'affixes et angle orienté d'un triangle

Les points

A,B,C

ont pour affixes

a=1+i

b=3+i

c=2+i(1+\sqrt3)

Calculer $(c-a)/(b-a)$ sous forme exponentielle.
En déduire la nature du triangle et l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ .
Calculer son aire sans utiliser un dessin.

Corrigé détaillé

On a $b-a=2$ et $c-a=1+i\sqrt3$ . Le quotient vaut donc $\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}=e^{i\pi/3}$ . Son module est $1$ et un argument est $\pi/3$ . Les trois points sont distincts, donc le quotient et l'angle orienté sont bien définis.
Le module du quotient vaut $AC/AB$ , d'où $AC=AB=2$ . Son argument représente l'angle orienté de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$ , donc cet angle vaut $\pi/3$ modulo $2\pi$ . L'angle non orienté en $A$ vaut donc $\pi/3$ . Pour conclure sans invoquer seulement une figure, calculons $c-b=-1+i\sqrt3$ , de module $2$ . Ainsi $BC=2$ également : le triangle est équilatéral. Le signe positif de la partie imaginaire du quotient indique que $C$ se trouve du côté direct par rapport au vecteur $\overrightarrow{AB}$ .
L'aire vaut la moitié du produit de deux côtés issus de $A$ par le sinus de l'angle compris : $\mathcal A=\frac12\times2\times2\times\sin(\pi/3)=\sqrt3$ . On peut aussi prendre $AB$ comme base horizontale de longueur $2$ ; la différence des ordonnées entre $C$ et la droite $(AB)$ vaut $\sqrt3$ , ce qui donne la même aire.

Exercice 12 — Paramètre réel et alignement d'une phase

Pour

t\in\mathbb R

, on pose

Z_t=(t+i)e^{-i\pi/4}

Déterminer les $t$ pour lesquels $Z_t$ est réel, puis réel strictement positif.
Déterminer les $t$ pour lesquels il est imaginaire pur.
Donner les arguments principaux de $t+i$ dans les deux cas particuliers obtenus.

Corrigé détaillé

Comme $e^{-i\pi/4}=(1-i)/\sqrt2$ , on a $Z_t=((t+i)(1-i))/\sqrt2=((t+1)+i(1-t))/\sqrt2$ . Ce nombre est réel si et seulement si $1-t=0$ , soit $t=1$ . Pour cette valeur, $Z_1=2/\sqrt2=\sqrt2>0$ . Il n'existe donc pas de valeur du paramètre donnant un réel strictement négatif : la seule valeur réelle obtenue est positive.
Le nombre est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, soit $t+1=0$ . Ainsi $t=-1$ et $Z_{-1}=2i/\sqrt2=i\sqrt2$ . Le nombre $Z_t$ ne peut jamais être nul, car $t+i$ a une partie imaginaire égale à $1$ et l'exponentielle ne s'annule pas. Il n'y a donc pas de chevauchement entre les deux cas particuliers.
Pour $t=1$ , le nombre $1+i$ a pour module $\sqrt2$ et pour argument principal $\pi/4$ . La multiplication par $e^{-i\pi/4}$ le ramène sur l'axe réel positif. Pour $t=-1$ , le nombre $-1+i$ a pour argument principal $3\pi/4$ ; après soustraction de $\pi/4$ , il reste $\pi/2$ , ce qui explique l'image imaginaire pure positive. Le calcul algébrique et la lecture des arguments donnent exactement les mêmes conditions, sans utiliser une formule d'arctangente qui masquerait le quadrant.

Exercice 13 — Résoudre une équation trigonométrique par une somme d'exponentielles

Établir $e^{ix}+e^{3ix}=2\cos x\,e^{2ix}$ .
Résoudre $\sin x+\sin3x=0$ sur $[0,2\pi[$ .
Parmi ces solutions, déterminer celles qui vérifient aussi $\cos x+\cos3x=0$ .

Corrigé détaillé

On factorise par l'exponentielle correspondant à l'angle moyen : $e^{ix}+e^{3ix}=e^{2ix}(e^{-ix}+e^{ix})=2\cos x\,e^{2ix}$ . En prenant les parties imaginaire et réelle, on obtient respectivement $\sin x+\sin3x=2\cos x\sin2x$ et $\cos x+\cos3x=2\cos x\cos2x$ .
L'équation devient $2\cos x\sin2x=0$ . Ainsi $\cos x=0$ ou $\sin2x=0$ . Sur $[0,2\pi[$ , la première condition donne $x=\pi/2$ ou $3\pi/2$ . La seconde donne $2x=k\pi$ , soit $x=k\pi/2$ , avec $k=0,1,2,3$ . Les solutions de la première condition sont déjà incluses dans celles de la seconde. L'ensemble solution est donc $\{0,\pi/2,\pi,3\pi/2\}$ ; on ne doit pas compter deux fois les valeurs communes.
Pour satisfaire les deux égalités simultanément, la somme complexe $e^{ix}+e^{3ix}$ doit être nulle. Or elle vaut $2\cos x\,e^{2ix}$ et l'exponentielle ne s'annule jamais. Il faut et il suffit donc que $\cos x=0$ , soit $x=\pi/2$ ou $3\pi/2$ . Les valeurs $0$ et $\pi$ annulent la partie imaginaire, mais leur partie réelle vaut respectivement $2$ et $-2$ .

Exercice 14 — Périodicité d'une suite de directions

Soit

u_n=e^{in\theta}

pour

n\in\mathbb N

Montrer que cette suite est périodique si et seulement si $\theta/(2\pi)$ est rationnel.
Déterminer sa plus petite période lorsque $\theta=5\pi/6$ .
Montrer qu'elle n'est pas périodique pour $\theta=\pi\sqrt2$ et expliquer ce que cela ne prouve pas à lui seul.

Corrigé détaillé

Si $T\geq1$ est une période entière, alors $u_T=u_0=1$ , donc $e^{iT\theta}=1$ . Il existe alors un entier $k$ tel que $T\theta=2k\pi$ , d'où $\theta/(2\pi)=k/T\in\mathbb Q$ . Réciproquement, si $\theta/(2\pi)=p/q$ avec $p\in\mathbb Z$ et $q\geq1$ , alors $e^{iq\theta}=e^{2ip\pi}=1$ , et $u_{n+q}=u_n$ pour tout $n$ . Lorsque $p/q$ est irréductible, une période $T$ exige que $Tp/q$ soit entier ; comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, $q$ divise $T$ . La plus petite période est donc $q$ .
Pour $\theta=5\pi/6$ , on a $\theta/(2\pi)=5/12$ , fraction irréductible. La plus petite période est $12$ . En particulier, une période $6$ serait incorrecte, car $u_{n+6}=-u_n$ et non $u_n$ .
Pour $\theta=\pi\sqrt2$ , le quotient vaut $\sqrt2/2$ , qui est irrationnel ; la suite n'est donc pas périodique. On peut aussi prouver que ses termes sont tous distincts : une égalité $u_m=u_n$ avec $m\ne n$ rendrait le même quotient rationnel. Toutefois, l'absence de périodicité ne démontre pas, à elle seule, que les points sont denses sur le cercle. Une telle affirmation nécessiterait un argument supplémentaire, qui n'est pas utilisé ici.

Exercice 15 — Quand deux exponentielles décrivent le même point

Résoudre $e^{i(3x+\pi/4)}=e^{i(x-\pi/6)}$ dans $\mathbb R$ .
Donner les solutions dans $[0,2\pi[$ .
Résoudre ensuite $2e^{i(3x+\pi/4)}=3e^{i(x-\pi/6)}$ et expliquer la différence.

Corrigé détaillé

L'égalité de deux exponentielles imaginaires équivaut à une différence d'angles multiple de $2\pi$ , et non à l'égalité stricte des angles. On écrit donc $(3x+\pi/4)-(x-\pi/6)=2k\pi$ , avec $k\in\mathbb Z$ . Cela donne $2x+5\pi/12=2k\pi$ , puis $x=-5\pi/24+k\pi$ . Toutes ces valeurs conviennent, car leur substitution rend la différence des angles exactement égale à $2k\pi$ .
Pour obtenir $0\leq x<2\pi$ , il faut $0\leq-5\pi/24+k\pi<2\pi$ . Après division par $\pi$ , on trouve $5/24\leq k<53/24$ . Les seuls entiers sont $k=1$ et $k=2$ . Les solutions sont donc $19\pi/24$ et $43\pi/24$ . La valeur obtenue avec $k=0$ est négative et ne doit pas être conservée dans cet intervalle.
Dans la seconde équation, le membre de gauche a toujours pour module $2$ , tandis que celui de droite a toujours pour module $3$ . Deux nombres complexes égaux doivent avoir le même module ; l'équation n'a donc aucune solution réelle. Il serait inutile et trompeur d'égaliser seulement leurs angles. Pour comparer deux formes exponentielles de nombres non nuls, il faut vérifier à la fois l'égalité des modules et la congruence des arguments.

Exercice 16 — Paramétrer exactement un cercle et un arc

On pose

z(t)=1-2i+3e^{it}

pour

t\in\mathbb R

Démontrer que l'ensemble des points obtenus est exactement un cercle.
Déterminer les paramètres donnant les intersections avec l'axe réel.
Décrire les points obtenus lorsque $t\in[0,\pi]$ et préciser le sens du parcours.

Corrigé détaillé

On a $z(t)-(1-2i)=3e^{it}$ , donc $|z(t)-(1-2i)|=3$ . Tous les points appartiennent au cercle de centre d'affixe $1-2i$ et de rayon $3$ . Réciproquement, si $z$ vérifie cette équation, le nombre $(z-(1-2i))/3$ a pour module $1$ ; il s'écrit donc $e^{it}$ pour un certain réel $t$ . L'ensemble décrit est bien tout le cercle, et pas seulement une partie. Deux paramètres donnent le même point exactement lorsqu'ils diffèrent d'un multiple de $2\pi$ .
La partie imaginaire de $z(t)$ vaut $-2+3\sin t$ . Elle est nulle si et seulement si $\sin t=2/3$ . Posons $\alpha=\arcsin(2/3)\in]0,\pi/2[$ . Les paramètres sont $t=\alpha+2k\pi$ ou $t=\pi-\alpha+2k\pi$ . Comme $\cos\alpha=\sqrt5/3$ , les affixes d'intersection sont $1+\sqrt5$ et $1-\sqrt5$ .
Pour $t\in[0,\pi]$ , on a $\sin t\geq0$ , donc l'ordonnée est au moins $-2$ . Il s'agit du demi-cercle situé au-dessus de la droite horizontale passant par le centre. Le parcours part de $z(0)=4-2i$ , passe par $z(\pi/2)=1+i$ et arrive à $z(\pi)=-2-2i$ . Lorsque $t$ augmente, le vecteur issu du centre tourne dans le sens direct.

Exercice 17 — Angle moitié et quotient de deux sommes

Pour

t\in\mathbb R

tel que

e^{it}\ne-1

, on pose

Q(t)=(e^{it}-1)/(e^{it}+1)

Montrer que $Q(t)=i\tan(t/2)$ .
Résoudre $Q(t)=i\sqrt3$ sur $]-\pi,\pi[$ .
Expliquer ce qui se passe lorsque $t$ tend vers $\pi$ par valeurs inférieures.

Corrigé détaillé

En factorisant par $e^{it/2}$ , on obtient $e^{it}-1=e^{it/2}(e^{it/2}-e^{-it/2})=2ie^{it/2}\sin(t/2)$ et $e^{it}+1=2e^{it/2}\cos(t/2)$ . Le dénominateur est non nul exactement lorsque $\cos(t/2)\ne0$ , soit $t\notin\pi+2\pi\mathbb Z$ , conformément à l'hypothèse. En simplifiant les facteurs non nuls, on trouve $Q(t)=i\sin(t/2)/\cos(t/2)=i\tan(t/2)$ . Le quotient est donc toujours imaginaire pur sur son domaine.
L'équation devient $\tan(t/2)=\sqrt3$ . Sur $]-\pi,\pi[$ , l'angle $t/2$ appartient à $]-\pi/2,\pi/2[$ , intervalle sur lequel la tangente est injective. L'unique solution est $t/2=\pi/3$ , donc $t=2\pi/3$ . Elle appartient au domaine et à l'intervalle demandé.
Lorsque $t\to\pi^-$ , on a $t/2\to(\pi/2)^-$ et $\tan(t/2)\to+\infty$ . La partie imaginaire de $Q(t)$ tend donc vers $+\infty$ , tandis que sa partie réelle reste nulle. Dans l'expression initiale, le numérateur tend vers $-2$ et le dénominateur vers zéro : il ne s'agit pas d'une forme indéterminée permettant une simplification au point $t=\pi$ . Ce paramètre demeure interdit.

Exercice 18 — Produit de sinus et changement d'échelle des angles

À partir des exponentielles, retrouver $\sin2x=2\sin x\cos x$ .
En déduire $\sin8x=8\sin x\cos x\cos2x\cos4x$ .
Calculer $\cos(\pi/16)\cos(\pi/8)\cos(\pi/4)$ .

Corrigé détaillé

Avec les formules d'Euler, $2\sin x\cos x=2\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2$ . Le produit des numérateurs est $e^{2ix}-e^{-2ix}$ ; l'expression devient donc $(e^{2ix}-e^{-2ix})/(2i)=\sin2x$ . Cette preuve est valable pour tout réel $x$ et ne nécessite aucune division par $\sin x$ ou $\cos x$ .
On applique trois fois l'identité : $\sin8x=2\sin4x\cos4x=4\sin2x\cos2x\cos4x=8\sin x\cos x\cos2x\cos4x$ . Cette égalité reste vraie même si certains facteurs sont nuls. Ce n'est qu'au moment d'isoler un produit par division qu'il faudra vérifier que le facteur supprimé est non nul.
Prenons $x=\pi/16$ . On a $8x=\pi/2$ , donc $1=8\sin(\pi/16)\cos(\pi/16)\cos(\pi/8)\cos(\pi/4)$ . Comme $\sin(\pi/16)>0$ , le produit demandé vaut $1/(8\sin(\pi/16))$ . Pour une écriture uniquement avec des radicaux, les formules d'angle moitié donnent $\sin(\pi/16)=\frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}$ . Le résultat est donc $\frac{1}{4\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}}$ . Tous les facteurs étant positifs, le choix de la racine carrée positive est justifié.

Exercice 19 — Identifier des coefficients par les exponentielles

Pour

x\in\mathbb R

, on pose

H(x)=|1+2e^{ix}|^2

Écrire $H$ sous la forme $A+B\cos x+C\sin x$ .
Montrer que cette écriture est unique.
Déterminer le minimum et le maximum de $H$ , ainsi que tous les paramètres où ils sont atteints.

Corrigé détaillé

Le conjugué de $1+2e^{ix}$ est $1+2e^{-ix}$ . Ainsi $H(x)=(1+2e^{ix})(1+2e^{-ix})=1+4+2e^{ix}+2e^{-ix}=5+4\cos x$ . Les coefficients sont donc $A=5$ , $B=4$ et $C=0$ . La disparition du sinus correspond à la symétrie $H(-x)=H(x)$ .
Supposons qu'une combinaison $a+b\cos x+c\sin x$ soit identiquement nulle. En prenant $x=0$ , on obtient $a+b=0$ . Avec $x=\pi$ , on obtient $a-b=0$ . En additionnant et soustrayant, on trouve $a=b=0$ . En prenant alors $x=\pi/2$ , il vient $c=0$ . La différence de deux représentations éventuelles étant une telle combinaison nulle, les coefficients sont uniques. Ce raisonnement constitue une identification rigoureuse, et non une simple lecture formelle.
Comme $-1\leq\cos x\leq1$ , on a $1\leq H(x)\leq9$ . Le minimum $1$ est atteint exactement pour $x=\pi+2k\pi$ , et le maximum $9$ exactement pour $x=2k\pi$ , où $k\in\mathbb Z$ . Géométriquement, le nombre $2e^{ix}$ parcourt un cercle de rayon $2$ ; sa distance au point d'affixe $-1$ varie entre $1$ et $3$ . Les valeurs de $H$ , qui sont les carrés de ces distances, varient donc entre $1$ et $9$ .

Exercice 20 — Approfondissement hors programme — Une puissance réelle fixée et l'échec d'une règle de composition

Pour

w\ne0

t\in\mathbb R

, on définit la puissance principale

w^{[t]}=|w|^t e^{it\operatorname{Arg}(w)}

, avec

\operatorname{Arg}(w)\in]-\pi,\pi]

. On prend

z=e^{3i\pi/4}

Calculer $(z^2)^{[1/2]}$ et comparer à $z$ .
Calculer $(z^{[1/2]})^2$ .
Expliquer précisément pourquoi ces deux calculs ne se contredisent pas.

Corrigé détaillé

On a $z^2=e^{3i\pi/2}=e^{-i\pi/2}$ . Son module vaut $1$ et son argument principal vaut $-\pi/2$ . Par la définition donnée, $(z^2)^{[1/2]}=e^{-i\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}$ . Or $z=e^{3i\pi/4}=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}$ . Les deux valeurs sont opposées : $(z^2)^{[1/2]}=-z\ne z$ . La règle consistant à multiplier automatiquement les exposants échoue donc pour cette puissance principale.
En revanche, l'argument principal de $z$ est bien $3\pi/4$ , donc $z^{[1/2]}=e^{3i\pi/8}$ . Son carré entier vaut $e^{3i\pi/4}=z$ . Ainsi $(z^{[1/2]})^2=z$ . La puissance entière de la valeur déjà choisie ne nécessite aucun nouveau choix d'argument.
La différence vient de l'étape intermédiaire. Dans le premier calcul, l'angle $2\times3\pi/4=3\pi/2$ est remplacé par son représentant principal $-\pi/2$ , ce qui retranche $2\pi$ . Lorsqu'on divise ensuite cet argument par $2$ , cette correction devient $-\pi$ , qui change le signe de l'exponentielle. Dans le second calcul, on partage d'abord l'argument principal initial par $2$ , puis on élève au carré sans réduction intermédiaire. Pour les exposants entiers, ajouter $2k\pi$ à un argument n'a aucun effet sur la valeur ; pour un exposant non entier, ce changement peut être visible. Les deux calculs appliquent donc des opérations différentes, et aucune contradiction n'apparaît.

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