Terminale maths expertes

Matrices : calculs, inverses et puissances — 20 exercices

Ces 20 exercices développent le calcul matriciel en Terminale maths expertes : dimensions, produits, systèmes, inverses vérifiés, suites et puissances. Les méthodes restent élémentaires : calcul direct, récurrence, identités matricielles et diagonalisation fournie. On note

I_d

la matrice identité d'ordre

d

et on définit

A^0=I_d

pour toute matrice carrée d'ordre

d

L'essentiel à retenir

Le produit d'une matrice de taille $m\times p$ par une matrice de taille $p\times n$ est une matrice de taille $m\times n$ . En général, $AB\ne BA$ . Pour prouver que $B$ est l'inverse de $A$ , on peut vérifier $AB=BA=I$ . Un produit nul n'impose pas qu'un facteur soit nul. Une formule de puissance doit être justifiée, notamment par récurrence. Si $A=PDP^{-1}$ , alors $A^n=PD^nP^{-1}$ .

Exercice 1 — Produits rectangulaires

Soient $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\4&2\end{pmatrix}$ . Déterminer les tailles de $AB$ et $BA$ , puis calculer $AB$ .
Calculer $BA$ . Les expressions $A+B$ et $AB+BA$ ont-elles un sens ?

Corrigé détaillé

A

est de taille

2\times3

B

de taille

3\times2

. Ainsi

AB

est de taille

2\times2

BA

de taille

3\times3

. On trouve

AB=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-2\end{pmatrix}

, par exemple

(AB)_{22}=(-1)\times1+3\times(-1)+1\times2=-2

. 2.

BA=\begin{pmatrix}1&7&1\\1&-3&-1\\2&14&2\end{pmatrix}

. L'addition

A+B

n'est pas définie car les tailles diffèrent. De même,

AB+BA

n'est pas définie : on ne peut additionner une matrice

2\times2

et une matrice

3\times3

Exercice 2 — Résoudre un système avec un inverse vérifié

Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ , vérifier que $B=A^{-1}$ .
Résoudre $2x+y=7$ et $x+y=4$ par un produit matriciel, puis vérifier.

Corrigé détaillé

1. On calcule

AB=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\1-1&-1+2\end{pmatrix}=I_2

BA=\begin{pmatrix}2-1&1-1\\-2+2&-1+2\end{pmatrix}=I_2

. Les deux produits confirment que

B

est l'inverse de

A

. 2. Le système s'écrit

AX=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}

. Ainsi

X=B\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}

. Vérification :

2\times3+1=7

3+1=4

. L'inversibilité assure l'unicité.

Exercice 3 — Un système triangulaire à trois inconnues

Résoudre le système $x+2y-z=5$ , $y+3z=7$ , $z=2$ en remontant les équations.
Avec $A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ , vérifier que $B=\begin{pmatrix}1&-2&7\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}$ est son inverse, puis retrouver la solution.

Corrigé détaillé

1. La dernière équation donne

z=2

. La deuxième donne

y=7-3\times2=1

. La première donne

x=5-2\times1+2=5

. La solution est donc

(x,y,z)=(5;1;2)

. 2. Les produits donnent

AB=BA=I_3

; notamment le coefficient

(1;3)

AB

vaut

7-6-1=0

, et celui de

BA

vaut

-1-6+7=0

. Alors

B\begin{pmatrix}5\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-14+14\\7-6\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}

Exercice 4 — L'ordre des transformations compte

Soient $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Calculer $AB$ et $BA$ .
Comparer $(AB)^2$ et $A^2B^2$ . Expliquer pourquoi la règle habituelle sur les puissances d'un produit ne s'applique pas.

Corrigé détaillé

1. On obtient

AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}

. Les coefficients

(1;2)

diffèrent :

A

B

ne commutent pas. 2.

(AB)^2=\begin{pmatrix}4&3\\0&1\end{pmatrix}

, tandis que

A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}

B^2=\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}

donnent

A^2B^2=\begin{pmatrix}4&2\\0&1\end{pmatrix}

. Pour passer de

ABAB

AABB

, il faudrait permuter les facteurs centraux, ce qui est ici interdit.

Exercice 5 — Un produit nul avec deux facteurs non nuls

Posons $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}$ . Calculer $AB$ et $BA$ . Quelle propriété des nombres réels est mise en défaut ?
Montrer directement que $A$ n'est pas inversible. Utiliser ensuite $AB=0$ pour donner une seconde justification.

Corrigé détaillé

AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

, alors que

BA=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\ne0

. Pourtant

A\ne0

B\ne0

. Pour les matrices, un produit nul n'impose donc pas qu'un facteur soit nul. 2. Pour toute matrice

C

, la deuxième ligne de

AC

est nulle : on ne peut donc avoir

AC=I_2

. Autrement, si

A^{-1}

existait,

AB=0

donnerait

B=A^{-1}0=0

, ce qui contredit la valeur de

B

Exercice 6 — Des matrices qui commutent réellement

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $B=2I_2+3A$ . Montrer que $AB=BA$ sans développer tous les coefficients.
Calculer $B^2$ et donner une formule de $A^n$ selon la parité de $n$ .

Corrigé détaillé

1. On a

AB=A(2I_2+3A)=2A+3A^2

BA=(2I_2+3A)A=2A+3A^2

. Les deux produits sont égaux. Ici,

B

est une expression polynomiale en

A

, ce qui explique la commutation. 2. Comme

A^2=I_2

, on a

B^2=4I_2+12A+9A^2=13I_2+12A=\begin{pmatrix}13&12\\12&13\end{pmatrix}

. Pour

n

pair,

A^n=I_2

; pour

n

impair,

A^n=A

, car chaque paire de facteurs

A

se remplace par

I_2

Exercice 7 — Une puissance obtenue par récurrence

Soit $N=\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix}$ et $A=I_2+N$ . Calculer $N^2$ , puis prouver par récurrence que $A^n=I_2+nN$ pour tout entier $n\geq0$ .
Calculer $A^{25}$ et résoudre $A^n\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}81\\2\end{pmatrix}$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Corrigé détaillé

N^2=0

. Au rang

0

A^0=I_2

. Si

A^n=I_2+nN

, alors

A^{n+1}=(I_2+nN)(I_2+N)=I_2+(n+1)N+nN^2=I_2+(n+1)N

. La formule est donc établie. 2.

A^{25}=\begin{pmatrix}1&100\\0&1\end{pmatrix}

. Plus généralement,

A^n\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+8n\\2\end{pmatrix}

. L'équation impose

1+8n=81

, donc

n=10

, qui convient.

Exercice 8 — Une preuve matricielle pour Fibonacci

On définit $F_0=0$ , $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ . Pour $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ , prouver par récurrence que, pour $n\geq1$ , $Q^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}$ .
Calculer $Q^5$ , puis déduire de $Q^{m+n}=Q^mQ^n$ une identité d'addition valable pour $m,n\geq1$ .

Corrigé détaillé

1. Au rang

1

F_2=1

et la formule donne bien

Q

. Si elle est vraie au rang

n

, la multiplication à droite par

Q

donne

\begin{pmatrix}F_{n+1}+F_n&F_{n+1}\\F_n+F_{n-1}&F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+2}&F_{n+1}\\F_{n+1}&F_n\end{pmatrix}

. C'est la formule au rang

n+1

. 2. Les termes utiles sont

F_4=3

F_5=5

F_6=8

, donc

Q^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}

. En comparant les coefficients

(1;2)

dans le produit, on obtient

F_{m+n}=F_{m+1}F_n+F_mF_{n-1}

. Cette identité découle directement de la formule prouvée.

Exercice 9 — Exploiter une diagonalisation fournie

On donne $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}$ . Vérifier $P^{-1}=\frac12P$ et $A=PDP^{-1}$ .
Établir une expression de $A^n$ , puis calculer $A^3$ .

Corrigé détaillé

P^2=2I_2

, donc

P(\frac12P)=(\frac12P)P=I_2

. Puis

PD=\begin{pmatrix}4&2\\4&-2\end{pmatrix}

PDP^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}6&2\\2&6\end{pmatrix}=A

. 2. Les facteurs

P^{-1}P

se simplifient dans les produits successifs, d'où

A^n=PD^nP^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}4^n+2^n&4^n-2^n\\4^n-2^n&4^n+2^n\end{pmatrix}

. Pour

n=3

, on obtient

A^3=\begin{pmatrix}36&28\\28&36\end{pmatrix}

Exercice 10 — Une matrice vérifiant une identité simple

Soit $J=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ . Vérifier $J^2=J$ , puis montrer que pour $A=2I_3+J$ , on a $A^n=2^nI_3+(3^n-2^n)J$ .
Calculer $A^2$ et $A^n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ . Interpréter la seconde égalité.

Corrigé détaillé

1. Chaque coefficient de

J^2

vaut

3\times\frac19=\frac13

, donc

J^2=J

. La formule est vraie pour

n=0

. En multipliant son expression par

2I_3+J

, le coefficient de

J

devient

2^n+3(3^n-2^n)=3^{n+1}-2^{n+1}

; cela prouve l'hérédité. 2.

A^2=4I_3+5J=\begin{pmatrix}17/3&5/3&5/3\\5/3&17/3&5/3\\5/3&5/3&17/3\end{pmatrix}

. Comme

J\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

, on obtient

A^n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=3^n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

. Une situation initiale identique dans les trois composantes reste identique, avec un facteur

3

à chaque étape.

Exercice 11 — Inversibilité selon un paramètre

Pour $A_t=\begin{pmatrix}1&t\\t&1\end{pmatrix}$ , vérifier que si $t\ne1$ et $t\ne-1$ , alors $A_t^{-1}=\frac1{1-t^2}\begin{pmatrix}1&-t\\-t&1\end{pmatrix}$ .
Résoudre $x+ty=2$ et $tx+y=2$ pour toutes les valeurs réelles de $t$ .

Corrigé détaillé

1. Dans les deux ordres, le produit de

A_t

par

\begin{pmatrix}1&-t\\-t&1\end{pmatrix}

vaut

(1-t^2)I_2

. Lorsque

1-t^2\ne0

, la division donne les deux identités requises. Pour

t=1

, les deux lignes sont identiques ; pour

t=-1

, elles sont opposées, ce qui empêche l'existence d'un inverse. 2. Si

t\ne\pm1

, l'inverse donne

x=y=2(1-t)/(1-t^2)=2/(1+t)

. Pour

t=1

, les équations se réduisent à

x+y=2

: il existe une infinité de solutions. Pour

t=-1

, on demanderait simultanément

x-y=2

x-y=-2

: aucune solution.

Exercice 12 — Production et besoins en matières premières

Les colonnes de $C=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\\4&2\end{pmatrix}$ donnent les besoins en trois matières pour fabriquer une unité des produits $P$ et $Q$ . Calculer les besoins pour $10$ unités de $P$ et $6$ de $Q$ .
Les coûts unitaires des matières sont donnés par la ligne $L=(3;2;1)$ . Calculer $LC$ , puis le coût total de la commande de la première question.

Corrigé détaillé

1. Avec

X=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}

, les besoins valent

CX=\begin{pmatrix}26\\28\\52\end{pmatrix}

. Par exemple, la deuxième matière nécessite

1\times10+3\times6=28

unités. Le produit a bien la taille

3\times1

. 2.

LC=(3\times2+2\times1+1\times4,\ 3\times1+2\times3+1\times2)=(12;11)

. Les coûts des produits sont donc

12

11

. Le coût total vaut

(LC)X=12\times10+11\times6=186

. On retrouve

L(CX)=3\times26+2\times28+52=186

Exercice 13 — Retrouver des quantités à partir de factures

Deux articles coûtent respectivement $4$ et $7$ euros dans un magasin, et $5$ et $6$ euros dans un autre. Le même panier coûte $47$ euros dans le premier et $45$ euros dans le second. Modéliser et résoudre.
Pour $A=\begin{pmatrix}4&7\\5&6\end{pmatrix}$ , vérifier un inverse et retrouver le panier.

Corrigé détaillé

1. Si le panier contient

x

unités du premier article et

y

du second, on a

4x+7y=47

5x+6y=45

. En soustrayant quatre fois la deuxième équation de cinq fois la première, on obtient

11y=55

, donc

y=5

, puis

x=3

. 2. On propose

B=\frac1{11}\begin{pmatrix}-6&7\\5&-4\end{pmatrix}

. Les calculs donnent

AB=BA=I_2

, car les produits avant division valent

11I_2

. Alors

B\begin{pmatrix}47\\45\end{pmatrix}=\frac1{11}\begin{pmatrix}33\\55\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}

Exercice 14 — Une suite affine écrite avec une matrice

La suite $(u_n)$ vérifie $u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}8u_n+6$ . Montrer que $X_n=\begin{pmatrix}u_n\\1\end{pmatrix}$ vérifie $X_{n+1}=AX_n$ pour une matrice $A$ à préciser.
Établir une formule explicite pour $u_n$ , puis pour $A^n$ , et déterminer la limite de $u_n$ .

Corrigé détaillé

1. On prend

A=\begin{pmatrix}0{,}8&6\\0&1\end{pmatrix}

. Alors

AX_n=\begin{pmatrix}0{,}8u_n+6\\1\end{pmatrix}=X_{n+1}

. Par répétition,

X_n=A^nX_0

. 2. Le nombre fixe vérifie

\ell=0{,}8\ell+6

, donc

\ell=30

. Ainsi

u_{n+1}-30=0{,}8(u_n-30)

, d'où

u_n=30-20(0{,}8)^n

. Plus généralement,

A^n=\begin{pmatrix}(0{,}8)^n&30(1-(0{,}8)^n)\\0&1\end{pmatrix}

, formule vérifiable par récurrence. Comme

(0{,}8)^n\to0

, on a

u_n\to30

Exercice 15 — Retrouver un état initial

Une évolution est donnée par $X_{n+1}=AX_n$ , avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ . Vérifier que $A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\0&1\end{pmatrix}$ .
Sachant que $X_3=\begin{pmatrix}47\\5\end{pmatrix}$ , retrouver $X_0$ et vérifier par trois évolutions.

Corrigé détaillé

1. Dans

AA^{-1}

, le coefficient

(1;2)

vaut

2\times(-1/2)+1=0

; les coefficients diagonaux valent

1

. Dans l'autre ordre, le coefficient

(1;2)

vaut

1/2-1/2=0

. Les deux produits sont donc

I_2

. 2. La seconde composante reste égale à

5

. Pour la première, on remonte par

x_n=(x_{n+1}-5)/2

x_2=21

x_1=8

x_0=3/2

. Donc

X_0=\begin{pmatrix}3/2\\5\end{pmatrix}

. En avant :

2\times(3/2)+5=8

, puis

21

, puis

47

Exercice 16 — Une matrice nilpotente d'ordre trois

Soient $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $A=I_3+N$ . Calculer $N^2$ et $N^3$ .
Prouver par récurrence que $A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}2N^2$ , puis calculer $A^5$ .

Corrigé détaillé

N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}

N^3=0

. La première multiplication décale la seule liaison possible sur deux étapes ; une troisième multiplication donne tous les coefficients nuls. 2. La formule est vraie pour

n=0

. En multipliant par

I_3+N

et en utilisant

N^3=0

, le coefficient de

N

devient

n+1

et celui de

N^2

devient

\frac{n(n-1)}2+n=\frac{n(n+1)}2

. Donc

A^5=\begin{pmatrix}1&5&10\\0&1&5\\0&0&1\end{pmatrix}

Exercice 17 — Une équation matricielle à résoudre dans le bon ordre

Soient $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$ . Résoudre $AX=C$ .
Résoudre $YA=C$ et comparer les solutions. Pourquoi ne peut-on pas déplacer librement $A^{-1}$ ?

Corrigé détaillé

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}

, comme le vérifient les deux produits. En multipliant à gauche,

X=A^{-1}C=\begin{pmatrix}-2&-2\\4&5\end{pmatrix}

. On vérifie

AX=C

. 2. On multiplie cette fois à droite :

Y=CA^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\4&1\end{pmatrix}

. Les matrices

X

Y

sont différentes. L'ordre des facteurs doit être conservé :

A^{-1}C

ne peut pas être remplacé en général par

CA^{-1}

Exercice 18 — Sommer des puissances sans formule scalaire abusive

Pour une matrice carrée $A$ , poser $S_n=I+A+\cdots+A^n$ . Démontrer $(I-A)S_n=I-A^{n+1}$ .
Pour $A=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/3\end{pmatrix}$ , calculer $S_n$ et sa limite coefficient par coefficient.

Corrigé détaillé

1. En développant,

(I-A)S_n=(I+A+\cdots+A^n)-(A+A^2+\cdots+A^{n+1})

. Tous les termes intermédiaires s'annulent, laissant

I-A^{n+1}

. La preuve n'utilise aucune division matricielle. 2. Chaque puissance est diagonale. Ainsi

S_n=\begin{pmatrix}2(1-2^{-(n+1)})&0\\0&\frac32(1-3^{-(n+1)})\end{pmatrix}

. Les deux suites géométriques tendent vers zéro, donc

S_n\to\begin{pmatrix}2&0\\0&3/2\end{pmatrix}

. Cette limite est aussi l'inverse de

I-A

Exercice 19 — Calculer un inverse à partir d'une identité polynomiale

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^2$ et vérifier $A^2-2A=3I_2$ .
En déduire un inverse de $A$ , puis calculer $A^3$ sans effectuer un produit complet coefficient par coefficient.

Corrigé détaillé

A^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}

2A=\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}

. Leur différence est bien

3I_2

. 2. L'identité donne

A(A-2I_2)=(A-2I_2)A=3I_2

. Donc

A^{-1}=\frac13(A-2I_2)=\frac13\begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix}

. De plus,

A^3=2A^2+3A=7A+6I_2=\begin{pmatrix}13&14\\14&13\end{pmatrix}

Exercice 20 — Deux populations couplées

Deux effectifs satisfont $u_{n+1}=2u_n+v_n$ et $v_{n+1}=u_n+2v_n$ , avec $u_0=3$ , $v_0=1$ . Introduire $s_n=u_n+v_n$ et $d_n=u_n-v_n$ , puis déterminer ces deux suites.
En déduire $u_n,v_n$ , puis la puissance de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ pour un état initial quelconque.

Corrigé détaillé

1. En additionnant,

s_{n+1}=3s_n

s_0=4

, donc

s_n=4\times3^n

. En soustrayant,

d_{n+1}=d_n

d_0=2

, donc

d_n=2

. Le couplage se simplifie en une croissance géométrique et une différence constante. 2.

u_n=(s_n+d_n)/2=2\times3^n+1

v_n=2\times3^n-1

. Pour un état initial

(u_0,v_0)

quelconque, le même raisonnement donne

A^n=\frac12\begin{pmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{pmatrix}

. Au rang

0

, cette expression donne bien

I_2

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